1、学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.若 a2b21，x2y22，则 axby 的最大值为()A.1 B.2C.2D.4【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby 2.【答案】C2.若实数 a，b，c 均大于 0，且 abc3，则 a2b2c2的最小值为()A.3B.1C.33D.3【解析】abc1a1b1c，且 a，b，c 大于 0.由柯西不等式得(1a1b1c)2(121212)(a2b2c2)，a2b2c23.当且仅当 abc1 时等号成立，a2b2c2的最小值为 3.【答案】D3.已知 xy1，且 x0，y0，那么 2x23y2 的最小值是()【导学
2、号：38000033】A.56B.65C.2536D.3625【解析】2x23y2(2x23y2)1213 65652x22 3y33265(xy)265，当且仅当 2x 13 3y 12，即 x35，y25时等号成立，2x23y2 的最小值为65.【答案】B4.若 a21a22a2n1，b21b22b2n4，则 a1b1a2b2anbn 的最大值为()A.1B.1C.2D.2【解析】(a21a22a2n)(b21b22b2n)，(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，故 a1b1a2b2anbn2.因此 a1b1a2b2anbn 的最大值为 2.【答案】C5.已知
3、a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，则 t 的取值范围为()A.(0,1)B.(1,1)C.(0，1)D.1,1【解析】设(a，b，c)，(x，y，z).|a2b2c21，|x2y2z21，由|，得|t|1.t 的取值范围是1,1.【答案】D二、填空题6.已知 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b29c2 的最小值为_.【解析】a2b3c6，1a12b13c6，(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即 a24b29c212.当且仅当1a 12b 13c，即 a2，b1，c23时取等号.【答案】127.若 a(1,0，2)，b(x，y，z)，若 x2y2z216，
4、则 ab 的最大值为_.【解析】由题知，abx2z，由柯西不等式知1202(2)2(x2y2z2)(x02z)2，当且仅当向量 a 与 b 共线时“”成立，516(x2z)2，4 5x2z4 5，即4 5ab4 5.故 ab 的最大值为 4 5.【答案】4 58.已知 a 1b2b 1a21，则 a2b2_.【解析】由柯西不等式得(a 1b2b 1a2)2a2(1a2)(1b2)b21，当且仅当b1a2 1b2a时，上式取等号，ab 1a21b2，a2b2(1a2)(1b2)，于是 a2b21.【答案】1三、解答题9.已知 为锐角，a，b 均为正数.求证：(ab)2 a2cos2 b2sin2
5、.【证明】设 macos，bsin ，n(cos，sin)，则|ab|acos cos bsin sin|mn|m|n|acos 2bsin 21 a2cos2 b2sin2，(ab)2 a2cos2 b2sin2.10.在半径为 R 的圆内，求周长最大的内接长方形.【解】如图所示，设内接长方形 ABCD 的长为 x，宽为 4R2x2，于是 ABCD 的周长 l2(x 4R2x2)2(1x14R2x2).由柯西不等式得 l2x2(4R2x2)212(1212)122 22R 4 2R.当且仅当x1 4R2x21，即 x 2R 时等号成立.此时，宽4R2 2R2 2R，即 ABCD 为正方形，故
6、周长最大的内接长方形为正方形，其周长为 4 2R.能力提升1.函数 y x22x3 x26x14的最小值是()A.10B.2 10C.112 10D.101【解析】y x122 3x25.根据柯西不等式，得 y2(x1)22(3x)252 x1223x25(x1)22(3x)252(x1)(3x)10(x1)(3x)2252 10 112 10，当且仅当x13x 25，即 x2 1013时等号成立.此时，ymin112 10 101.【答案】D2.已知 a，b，c 均大于 0，Aa2b2c23，Babc3，则 A，B 的大小关系是()A.ABB.ABC.ABD.AB【解析】(121212)(a
7、2b2c2)(abc)2，a2b2c23abc29，当且仅当 abc 时，等号成立.又 a，b，c 均大于 0，abc0，a2b2c23abc3.【答案】B3.设 a，b，c，x，y，z 都是正数，且 a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则abcxyz_.【导学号：38000034】【解析】由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，当且仅当axbyczk 时取“”.由 k2(x2y2z2)22536，解得 k56，所以abcxyzk56.【答案】564.已知 a1，a2，an 都是正数，且 a1a2an1.求证：a21a1a2a22a2a3a2n1an1ana2nana112.【证明】根据柯西不等式得 左边a21a1a2a22a2a3a2n1an1ana2nana1(a1a2)(a2a3)(a3a4)(an1an)(ana1)a1a1a22a2a2a32a3a3a42an1an1an2anana1212(a1a2)2(a2a3)2(an1an)2(ana1)2a1a1a22a2a2a32 an1an1an2 anana12 12 a1a2 a1a1a2a2a3a2a2a3 an1anan1an1anana1anana1212(a1a2an)21212右边.原不等式成立.
