1、空间向量运算的坐标表示学习目标1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题知识点一空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法abab(a1b1，a2b2，a3b3)减法abab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘aa(a1，a2，a3)，R数量积ababa1b1a2b2a3b3思考空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？答案空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标知识点二空间向量的平行、垂直及模、
2、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有当b0时，ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|；cosa，b .知识点三空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2|.思考已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？答案OA|.1空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同()2设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若ab则.()3设A(0,1，1)，O为坐标原点，则(0,1，1)()4若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|. ()一、空间向
3、量的坐标运算例1(1)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)求点P的坐标，使()解(2,6，3)，(4,3,1)，(6,3，4)设点P的坐标为(x，y，z)，则(x2，y1，z2)，()，x5，y，z0，则点P的坐标为.(2)已知a(1,1,2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a.解|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2)反思感悟空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算(3)由条件求向量或点的坐标：把向
4、量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标跟踪训练1已知ab(2，2)，ab(0，0)，则a_，b_，ab_.答案(1，) (1,0，)4解析ab(2，2)，ab(0，0)，a(1，)，b(1,0，)，ab1034.二、向量的坐标表示的应用命题角度1空间平行垂直问题例2如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明(1)如图，建立空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE，则点N，E的坐标分别为，(0,0,1).又点A，M的坐标分别是，.又NE与AM不共线，NEAM.又NE平面BDE，AM平面BD
5、E，AM平面BDE.(2)由(1)知.D(，0,0)，F(，1)，(0，1)，0，.同理，.又DFBFF，且DF平面BDF，BF平面BDF，AM平面BDF.命题角度2夹角、距离问题例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值解如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1
6、,1，2)，(0，1，2)，(1)01(1)(2)(2)3.又|，|，cos，.又异面直线所成角为锐角或直角，故A1B与B1C所成角的余弦值为.反思感悟利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题跟踪训练2如图，长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点(1)求证：EFB1C；(2)求FH的长(3)求EF与C1G所成角的余弦值；(1)证明如图，建立空
7、间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.，(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)(1)0(1)0，即EFB1C.(2)解F，H，|.FH的长为.(3)解(0,1,1).|.又0(1)，|，cos ，.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.利用空间向量解决探索性问题典例正方体ABCDA1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GHBD1，试判断点H的位置解如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(
8、1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，因为(m，n，0)，(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)，又，所以，解得m1，n.所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点即当H为线段AB的中点时，GHBD1.素养提升(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力1已知M(5，1,2)，A(4,2，1)，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为()A(1,3，3) B(9,1,1)C(1，
9、3,3) D(9，1，1)答案B解析，(9,1,1)2已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|，且0，则等于()A5 B4 C3 D2答案C解析ab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，由已知得|ab|，且0，解得3.3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1 B. C. D.答案D解析依题意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.4在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|，则m的值为_答案7或13解析|，所以(3m)2
10、100,3m10.所以m7或13.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_答案解析(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，0(1)31303，cos，又，0，.1知识清单：(1)向量的坐标的运算(2)向量的坐标表示的应用2方法归纳：类比、转化3常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于()A(2，4,2) B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)答案A解析ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,
11、2)2已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若，则C的坐标是()A.B.C.D.答案A解析设点C的坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)，又(3，2，4)，所以x，y，z，所以C.3已知向量a(2,3)，b(k，1)，若a2b与ab平行，则k的值是()A6 B C. D14答案C解析由题意得a2b(22k，5)，且ab(2k，2)，又因为a2b和ab平行，则2(22k)5(2k)0，解得k.4已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150答案C解析ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，得ac7，而
12、|a|，所以cosa，c，所以a，c120.5在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线|的长为()A9 B. C5 D2答案B解析由已知，可得C1(0,2,3)，所以|.6若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则mn_.答案0解析因为(m1,1，m2n3)，(2，2,6)，由题意得，则，所以m0，n0，mn0.7若(4,6，1)，(4,3，2)，|a|1，且a，a，则a_.答案或解析设a(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或8已知点A(1,3,1)，B(1,3,4)，若2，
13、则点P的坐标是_答案(1,3,3)解析设点P(x，y，z)，则由2，得(x1，y3，z1)2(1x，3y，4z)，则解得即P(1,3,3)9已知A(x，5x，2x1)，B(1，x2,2x)，求|取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的|.解由空间两点间的距离公式得|，当x时，|有最小值为.此时A，B.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1)求AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，求N点的坐标解(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，
14、1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E，从而(，1,0)，(，0，2)设与的夹角为，则cos .AC与PB所成角的余弦值为.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则，由NE平面PAC可得，即化简得即N点的坐标为时，NE平面PAC.11一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是()A. B. C. D.答案D解析P关于xOy平面对称的点为P(1,1，1)，则光线所经过的距离为|PQ|.12已知O为坐标原点，(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标
15、为()A.B.C.D.答案C解析设，则(1，2，32)，(2，1，22)，所以(1，2，32)(2，1，22)2(3285)2.所以当时，取得最小值，此时，即点Q的坐标为.13若a(x，2,2)，b(2，3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_答案(，2)解析由题意，得ab2x23252x4，设a，b的夹角为，因为为钝角，所以cos 0，|b|0，所以ab0，即2x40，所以x2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(，2)14三棱锥PABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥PABC的体积为_答案1解析由A，B，C，P四点
16、的坐标，知ABC为直角三角形，ABAC，PA底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB1，AC2，PA3，所以三棱锥PABC的体积V1231.15已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则_.答案解析因为，所以0，即1351(2)z0，所以z4.因为BP平面ABC，所以，即解得x，y，于是.16在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45？解以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M.又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0m2)，则(，1,2)，所以|2，|，2m1.如果异面直线AB1和MN所成的角等于45，那么向量和的夹角等于45或135.又cos ，.所以，解得m，这与0m2矛盾所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45.
