1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 三十九直接证明与间接证明(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017青岛模拟)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,假设为()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.“至少有一个实根”的否定是“一个实根也没有”,即“没有实根”.2.分析法又称执果索因法,已知x0,用分析法
2、证明2B.x24C.x20D.x21【解析】选C.因为x0,所以要证1+,只需证()2,即证00,因为x0,所以x20成立,故原不等式成立.3.(2017东城模拟)在ABC中,sinAsinCcosAcosC,则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】选C.由sinAsinC0,即cos(A+C)0,所以A+C是锐角,从而B,故ABC必是钝角三角形.4.若a0,b0,且+=,则a3+b3的最小值是()A.B.2C.2D.4【解题指南】利用基本不等式求解.【解析】选D.由=+2,得ab2,当且仅当a=b=时,“=”成立,所以a3+b322=4.当且仅当a=b=
3、时,“=”成立.【加固训练】若a,bR,则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1+a2)0B.a2+b22(a-b-1)C.a2+3ab2b2D.【解析】选B.A中,当a=0时,lg(1+a2)=0,不成立;B中,因为a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)20,所以a2+b22(a-b-1)恒成立;C中,当a=0,b=1时,不成立;D中,当a=b=1时,不成立.5.(2017兰州模拟)在等比数列an中,a1a2a3是数列an递增的()世纪金榜导学号99972661A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【
4、解析】选C.当a1a2a3时,设公比为q,由a1a1q0,则1q1,此时,显然数列an是递增数列,若a1qq2,即0q1,此时,数列an也是递增数列,反之,当数列an是递增数列时,显然a1a2a3.故a1a2b0,则bc2;a2b2;.其中正确的是_.【解析】对于,因为ab0,所以ab0,0,ab,即,故正确;当c=0时,不正确;由不等式的性质知正确.答案:7.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时,应假设为_.【解析】“xa且xb”的否定是“x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现“x=a且x=b”的错误答案.8.(
5、2017邯郸模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是_.(填序号)世纪金榜导学号99972662【解析】若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:【加固训练】设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为_.【解析】a=+2,b=2+,两式的两边分别平方,可得a2=11+4,b2=11+4,显然,所以ab
6、.答案:a0,求证:2a3-b32ab2-a2b.世纪金榜导学号99972663【解题指南】本小题主要考查利用比较法证明不等式,利用作差法分解因式与0比较.【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为ab0,所以a-b0,a+b0,2a+b0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即2a3-b32ab2-a2b.【加固训练】已知x,y,z均为正数.求证:+.【证明】要证原不等式成立,因为x,y,z均为正数,所以只需证,xyzxyz,即证:x2+y2+z2xy+yz+zx,因为x2+y22x
7、y,y2+z22yz,z2+x22xz,所以2(x2+y2+z2)2(xy+yz+zx),即x2+y2+z2xy+yz+zx成立,当且仅当x=y=z时等号成立,故原不等式成立.10.(2017合肥模拟)已知等差数列an中,首项a10,公差d0.世纪金榜导学号99972664(1)若a1=1,d=2,且,成等比数列,求整数m的值.(2)求证对任意正整数n,都不成等差数列.【解题指南】(1)由题意列方程求解.(2)用反证法证明.【解析】(1)由题意,得=,()2=(a1am)2,因为a1=1,d=2,所以=a1am,49=1+(m-1)2,解得m=25.(2)假设,成等差数列,则+=,即-=-,=
8、,所以(an+1+an+2)=(an+an+1),(2an+3d)=(an+2d)2(2an+d),即2d(3+6and+2d2)=0,因为a10,d0,所以an=a1+(n-1)d0,故2d(3+6and+2d2)0这与式矛盾,所以假设不成立.即对任意正整数n,都不成等差数列.(20分钟40分)1.(5分)(2017武汉模拟)已知a,b,cR,若1且+-2,则下列结论成立的是()A.a,b,c同号B.b,c同号,a与它们异号C.a,c同号,b与它们异号D.b,c同号,a与b,c的符号关系不确定【解析】选A.由1知与同号,若0且0,不等式+-2显然成立,若0且0,-0,+22,即+0且0,即a
9、,b,c同号.【加固训练】(2017长沙模拟)设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2【解析】选D.因为+=+6,当且仅当a=b=c时取等号,所以三个数中至少有一个不小于2.2.(5分)(2017南宁模拟)已知a0,b0,双曲线S:-=1的离心率为3,k是双曲线S的一条渐近线的斜率,如果k0,那么+b的最小值为_.【解析】e=3,解得=8,故=2,k=,+b=+2a2=2,当且仅当=2a,即a=时,等号成立.答案:23.(5分)设0x0,b0,且a+b=2,所以(a+b)=1,+=+=(a+b)=(5+2)=,当且仅
10、当=,即b=2a,2-x=2x,x=时,“=”成立.答案:4.(12分)已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为-,求证:a0且2.世纪金榜导学号99972666【证明】假设a=0或2.(1)当a=0时,由a+c=0,得f(x)=bx,显然b0.由题意得f(x)=bx在-1,1上是单调函数,所以f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|.由已知条件,得|b|+(-|b|)=2-=-,这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0.(2)当2时,由二次函数的对称轴为x=-,知f(x)在-1,1上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得.所以或因为a+c=0,所以上述两个方程组无解,所以2不成立,故2.由(1),(2)可知,a0且2.5.(13分)(2016浙江高考)设函数f(x)=x3+,x0,1.证明:世纪金榜导学号99972667(1)f(x)1-x+x2.(2),从而得到结论.【证明】(1)因为1-x+x2-x3=,由于0x1,有,即1-x+x2-x3,所以f(x)1-x+x2.(2)由0x1得x3x,故f(x)=x3+x+=x+-+=+,所以f(x),由(1)得f(x)1-x+x2=+,又因为f=,所以f(x),综上,f(x).关闭Word文档返回原板块
