1、第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.2020湖南耒阳二中模拟给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;若sin =sin ,则与的终边相同;若cos 0,则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2 C.3 D.42.2020百校联考已知点P(cos 300,sin 300)是角终边上一点,则sin - cos =()A.32+12B. - 32+12C.32-12D.-32-123.2019湖南衡阳三模若sin 0,则下列三角函数的值恒为负数的是()A.cos
2、B.tan C.cos2 D.tan 24.2019全国卷,7,5分文tan 255=()A. - 2 - 3 B. - 2+3 C.2 - 3 D.2+35.2020山西大同高三调研已知sin +cos =12,(0,),则1 - tan1+tan=()A. - 7B.7C.3D. - 36.2019河南郑州三测已知cos(2 0192+)=12,(2,),则cos =()A.12B. - 12C. - 32D.327.2019北京,8,5分文如图4 - 1 - 1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4+4cos B.
3、4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 8.2018全国卷,11,5分文已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=23,则|a - b|=()A.15B.55C.255D.1考法1 三角函数定义的应用1已知角的终边上一点P( - 3,m)(m0),且sin =2m4,则cos =,tan =.由sin =2m4,结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再根据定义求cos ,tan 的值.设P(x,y).由题设知x= - 3,y=m,所以R2=OP2=( - 3)2+m2(O为原点),即R=3+m2,所以sin
4、=mr=2m4=m22,所以R=3+m2=22,即3+m2=8,解得m=5.当m=5时,cos = - 322= - 64,tan = - 153;当m= - 5时,cos = - 322= - 64,tan =153.2如图4 - 1 - 3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为.求解本题的关键是确定点P转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点P的坐标,进而得OP的坐标.图4 - 1 - 4如图4 - 1 - 4所示,设滚动后的圆的圆心为C,点P的坐标为(xP,yP)
5、,过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,所以劣弧PA=2,即圆心角PCA=2,则PCB=2 - 2,所以PB=sin(2 - 2)= - cos 2,CB=cos(2 - 2)=sin 2,所以xP=2 - CB=2 - sin 2,yP=1+PB=1 - cos 2,所以OP=(2 - sin 2,1 - cos 2).1.(1)2019四川攀枝花三诊已知角=83,且角的终边经过点P(x,23),则x的值为()A.2B.2C. - 2D. - 4(2)2017北京,9,5分文在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们
6、的终边关于y轴对称.若sin =13,则sin =.考法2 同角三角函数关系的应用命题角度1公式的应用3已知 sin+3cos3cos - sin=5,则sin2 - sin cos =.解法一由已知可得sin +3cos =5(3cos - sin ),即6sin =12cos ,也就是sin =2cos ,代入sin2+cos2=1,得cos2=15,(运用平方关系:sin2+cos2=1)从而sin2 - sin cos =4cos2 - 2cos2=2cos2=25.解法二由已知可得sin+3cos3cos - sin=sin+3coscos3cos - sincos=tan+33 -
7、 tan=5,(弦化切)整理得tan =2.从而sin2 - sin cos =sin2 - sincossin2+cos2=(利用sin2+cos2代换分母1)sin2 - sincoscos2sin2+cos2cos2=tan2 - tantan2+1=22 - 222+1=25.命题角度2sin cos 与sin cos 关系的应用42019四川成都二诊已知为第二象限角,且sin +cos =15,则cos - sin =A.75B. - 75C.75D. - 15观察已知式sin +cos =15与待求式cos - sin 的特征,可以求出sin cos 的值,整体代入求解即可;或利用
8、换元法,令cos - sin =t,结合已知条件和同角三角函数的基本关系求解;或根据sin2+cos2=1及sin +cos =15求出sin cos = - 1225,结合方程的根与系数的关系求出sin ,cos 的值,从而使问题得解.解法一(整体代入法)由sin +cos =15两边同时平方,得1+2sin cos =125,则2sin cos = - 2425, 所以(cos - sin )2=1 - 2sin cos =1+2425=4925.(配凑出关于sin cos 的式子,整体代入)因为为第二象限角,所以cos - sin = - 75.(三角函数值的符号由角所在的象限决定)故选
9、B.解法二(换元法)已知sin +cos =15,令cos - sin =t.(整体换元)由2+2,得2sin2+2cos2=125+t2,即2=125+t2,(利用同角三角函数的平方关系求值)整理得t2=2 - 125=4925,解得t=75. 因为为第二象限角,所以cos - sin 0,故cos - sin = - 75.(检验,舍去不满足题意的值)故选B.解法三(列方程法)由sin +cos =15两边同时平方,得1+2sin cos =125,则2sin cos = - 2425,即sin cos = - 1225.所以sin ,cos 是方程x2 - 15x - 1225=0的两根
10、,解方程得x1= - 35,x2=45.因为是第二象限角,所以sin =45,cos = - 35,所以cos - sin = - 75.故选B.B2.(1)2017全国卷,4,5分文已知sin - cos =43,则sin 2=()A. - 79B. - 29C.29D.79(2)2016全国卷,5,5分若tan =34,则cos2+2sin 2=()A.6425B.4825C.1D.1625考法3 诱导公式的应用5(1)2016四川,11,5分文sin 750=.(2)已知cos(6 - )=33,则cos(56+) - sin2( - 6)=.(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得
11、出结论;(2)利用(6 - )+(56+)=和 - 6= - (6 - ),将待求式中的角进行转化即可求解.(1)sin750=sin(2360+30)=sin 30=12.(2) 因为cos(56+)=cos - (6 - )= - cos(6 - )= - 33,sin2( - 6)=sin2 - (6 - )=sin2(6 - )=1 - cos2(6 - )=1 - (33)2=23,所以cos(56+) - sin2( - 6)= - 33-23= - 2+33.3.(1)2017全国卷,6,5分文函数f (x)=15sin(x+3)+cos(x - 6)的最大值为()A.65B.1
12、C.35D.15(2)设f ()=2sin(+)cos( - ) - cos(+)1+sin2+cos(32+) - sin2(2+)(1+2sin 0),则f ( - 236)=.考法4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用6 2016全国卷,14,5分文已知是第四象限角,且sin(+4)=35,则tan( - 4)=.解法一因为sin(+4)=35,所以cos( - 4)=sin2+( - 4)=sin(+4)=35.因为为第四象限角,所以 - 2+2k2k,kZ,所以 - 34+2k - 42k - 4,kZ,所以sin( - 4)= - 1 - (35)2= - 45,所以tan(
13、 - 4)=sin( - 4)cos( - 4)= - 43.解法二因为是第四象限角,且sin(+4)=35,所以+4为第一象限角,所以cos(+4)=45,所以tan( - 4)=sin( - 4)cos( - 4)= - cos2+( - 4)sin2+( - 4)= - cos(+4) sin(+4)= - 43.4.已知tan =2,则cos(52+2)=()A.35B.45C. - 35D. - 45易错 三角函数求值时忽略隐含条件致错7已知(0,),sin +cos =3 - 12,则tan 的值为.解法一将sin +cos =3 - 12两边同时平方,得1+2sin cos =1
14、 - 32,即sin cos = - 34,易知2.故sin cos =sincossin2+cos2=tantan2+1= - 34,解得tan = - 3或tan = - 33.(0,),sin cos = - 340可知sin - cos ,即|sin |cos |,故(2,34),则tan - 1,tan = - 3.解法二(本题若利用sin cos 与sin cos 之间的关系,就会得到更为便捷的解法)由sin +cos =3 - 12,得sin cos = - 340,cos 0.又(sin - cos )2=1 - 2sin cos =1+32=(3+1)24,sin - cos
15、 =3+12.联立,解得sin=32,cos= - 12,tan = - 3.易错警示本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin |cos |”的挖掘,从而得到错误答案:tan = - 3或tan = - 33.有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时,如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就很可能出错.5.2019安徽师大附中模拟已知角终边上一点P的坐标为(sin 10,cos 9 10),则角是()A.10B.25C. - 10D. - 25思想方法分类讨论
16、思想在三角函数化简求值中的应用8在ABC中,若sin(2 - A)= - 2sin( - B),3cos A= - 2cos( - B),则C=.利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行分类讨论.由已知得 - sinA= - 2sinB,3cosA=2cosB,2+2,得2cos2A=1,即cos A=22.当cos A=22时,cos B=32,又A,B是三角形的内角,所以A=4,B=6,所以C= - (A+B)=712.当cos A= - 22时,cos B= - 32,又A,B是三角形的内角,所以A=34,B=56不符合题意,舍去.综上可得C=712.解后反思(1)本题
17、在三角函数的化简求值过程中,应用了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,需提升数学思维的严谨性.(2)求解三角形中的三角函数问题时,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.6.已知A=sin(k+)sin+cos(k+)cos(kZ),则A的值构成的集合是.2821.A举反例:第一象限角370不小于第二象限角100,故错;易知正确;由于sin 6=sin 56,但6与56的终边不相同,故错;当=时,cos = - 1,此时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故错.综上可知只有正确.2.D由点P(cos 300,sin 300)是角终边上一点,可得sin -
18、cos =sin 300 - cos 300= - 32 - 12.3.D由sin 0,得2k+2k+2(kZ),故k+22k+(kZ),即2是第二或第四象限角,所以tan20.易知cos ,tan ,cos 2均不恒小于0,故选D.4.D由正切函数的周期性可知,tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=33+11 - 33=2+3,故选D.5.Asin +cos =12等号两边同时平方得1+2sin cos =14,所以sin cos = - 380,则cos 0.因为(sin - cos )2=1 - 2sin cos =74,所以sin - cos =7
19、2.所以1 - tan1+tan=1 - sincos1+sincos=cos - sincos+sin= - 7212= - 7,故选A.6.C由题意知,cos(2 0192+)=cos(32+)=sin =12,又(2,),所以cos = - 1 - sin2= - 32.故选C. 7.B如图D 4 - 1 - 1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,图D 4 - 1 - 1则阴影区域面积为ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧AB的中点时,点P
20、到弦AB的距离最大,此时ABP面积最大,即当点P为优弧AB的中点时,阴影区域面积最大.下面计算当点P为优弧AB的中点时阴影区域的面积.因为APB为锐角,且APB=,所以AOB=2,AOP=BOP=180 - ,则阴影区域的面积S=SAOP+SBOP+S扇形OAB=21222sin(180 - )+12222=4+4sin ,故选B.8.B由题意知cos 0.因为cos 2=2cos2 - 1=23,所以cos =56,sin =16,则|tan |=55.由题意知|tan |=|a - b1 - 2|,所以|a - b|=55.1.(1)C由题意知tan =tan83=tan(2+23)=ta
21、n 23=tan( - 3)= - tan3= - 3.因为角的终边经过点P(x,23),所以tan =23x.所以 - 3=23x,解得x= - 2.故选C.(2)13解法一当角的终边在第一象限时,取角终边上一点P1(22,1),其关于y轴的对称点( - 22,1)在角的终边上,此时sin =13;当角的终边在第二象限时,取角终边上一点P2( - 22,1),其关于y轴的对称点(22,1)在角的终边上,此时sin =13.综上可得sin =13.解法二令角与角均在区间(0,)内,故角与角互补,得sin =sin =13.解法三由已知可得,sin =sin(2k+ - )=sin( - )=s
22、in =13(kZ).2.(1)A将sin - cos =43的两边同时平方,得sin2 - 2sin cos +cos2=169,即sin 2= - 79,故选A.(2)A解法一由tan =sincos=34,cos2+sin2=1,得sin=35,cos=45或sin= - 35,cos= - 45,则sin 2=2sin cos =2425,则cos2+2sin 2=1625+4825=6425.故选A.解法二cos2+2sin 2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+31+916=6425.故选A.3.(1)A因为cos(x - 6)=cos(x+
23、3) - 2=sin(x+3),所以f(x)=65sin(x+3),于是f(x)的最大值为65,故选A.(2)3因为f()=( - 2sin)( - cos)+cos1+sin2+sin - cos2=2sincos+cos2sin2+sin=cos(1+2sin)sin(1+2sin)=1tan,所以f( - 236)=1tan( - 236)=1tan( - 4+6)=1tan6=3.4.D由诱导公式可得,cos(52+2)=cos2+(2+2)=cos(2+2)= - sin 2= - 2sincossin2+cos2= - 2sincoscos2sin2+cos2cos2= - 2tantan2+1= - 2222+1= - 45.故选D.5.D本题考查三角函数的定义.角终边上一点P的坐标为(sin10,cos910),且sin10=cos(2 - 10)=cos25=cos( - 25),cos910=cos( - 10)= - cos10= - sin(2 - 10)=sin( - 25),即P(cos( - 25),sin( - 25),则角是 - 25,故选D.6.2, - 2当k为偶数时,A=sinsin+coscos=2;当k为奇数时,A= - sinsin - coscos= - 2.所以A的值构成的集合是2, - 2.
