1、陕西省商洛市2016年高考数学模拟试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题1在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（0，1）B（0，1）C（，）D（，）【分析】化简复数，它在复平面内的对应点为（0，1），由此求得结果【解答】解：复数=i，它在复平面内的对应点为（0，1），故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题2双曲线的离心率为（）ABC2D3【分析】求出双曲线的a，b，c，由离心率公式e=，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线的a=1，b=，可得c=2，即有e=2故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的基本量
2、的关系，考查运算能力，属于基础题3要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A向左平移单位B向右平移单位C向左平移单位D向右平移单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可【解答】解：因为函数y=sin（4x）=sin4（x），要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位故选：B【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点4已知M=y|y=x2，N=x|+y2=1，则MN=（）A（1，1），（1，1）B1C0，D0，1【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可【解答
3、】解：由M中y=x20，得到M=0，+），由N中+y2=1，得到x，即N=，则MN=0，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键5已知且，则sin2x=（）AB3C3D【分析】利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出【解答】解：，cosx+2sinx=0，tanx=则sin2x=，故选：A【点评】本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6“x0”是“ln（x+1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结
4、论【解答】解：x0，x+11，当x+10时，ln（x+1）0；ln（x+1）0，0x+11，1x0，x0，“x0”是ln（x+1）0的必要不充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础7C：（x4）2+（y2）2=18上到直线l：xy+2=0的距离为的点个数有（）个A1B2C3D4【分析】求出C圆心C（4，2），半径r=3，再求出圆心C（4，2）到直线l：xy+2=0的距离d=2，由此能求出结果【解答】解：C：（x4）2+（y2）2=18的圆心C（4，2），半径r=3，圆心C（4，2）到直线l：xy+2=0的距离d=2，C：（x4）2
5、+（y2）2=18上到直线l：xy+2=0的距离为的点有3个故选：C【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质及点到直线的距离公式的合理运用8如图所示框图，如果输入的n为6，则输出的n2为（）A16B5C4D25【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，i的值，当i=3时，不满足条件i3，退出循环，计算输出n2的值为25【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，i=0不满足条件n是奇数，n=3，i=1，满足条件i3，满足条件n是奇数，n=10，i=2，满足条件i3，不满足条件n是奇数，n=5，i=3，不满足条件i3，退出循环，输出n2的值为25故选：D
6、【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确得到每次循环n，i的值是解题的关键，属于基础题9ABC中，B=60，最大边与最小边的比为，则ABC的最大角为（）A60B75C90D105【分析】设a为最大边，根据题意求得的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得tnaA的值，进而求得A【解答】解：不妨设a为最大边由题意，即=，=，整理可得：（3）sinA=（3+）cosA，tanA=2+，A=75故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系，属于中档题10已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角
7、形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体的体积V的大小为（）AB12C16D【分析】由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图所示，即可得出【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积S=4=10，几何体的体积V=104=故选：D【点评】本题考查了三视图的有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11若，则的展开式中的常数项（）ABC20D15【分析】先根据定积分的几何意义求出a的值，再再由二项式展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求得【解答】解：表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故=，则=（）6，其通项公式为C6k（）6k（）k=C
8、6k（）6k（1）kx62k，令62k=0，即k=3，故常数项为C63（）63（1）3=，故选：B【点评】本题考查定积分的运算，考查二项式定理的运用求特定项，属于中档题12设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性
9、，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：A【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二.填空题13抛物线y2=8x的焦点到直线xy=0的距离是1【分析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0
10、），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线xy=0的距离【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），点F（2，0）到直线xy=0的距离d=1故答案为：1【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键14经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为：经过椭圆+=1上一点P（x0，y0）的切线方程为【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得【解答】解：类比过圆x2+y2=r2上一点M（x0
11、，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类比推理得：过椭圆+=1（ab0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为：故答案：【点评】本题考查椭圆的应用、利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论15从一架钢琴挑出的7个音键中，分别选择3个，4个，5个，6个，7个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同和声数为99（用数字作答）【分析】共有5种不同的类型，当有3个键同时按下，有C73种结果，以此类推，根据分类计数原理得到共有的结果数【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，共有5种不同的类型，当有3个键同时按
12、下，有C73种结果，当有4个键同时按下，有C74种结果，当有5个键同时按下，有C75种结果当有6个键同时按下，有C76种结果，当有7个键同时按下，有C77种结果根据分类计数原理得到共有C73+C74+C75+C76+C77=35+35+21+7+1=99故答案为：99【点评】本题考查分类计数原理，考查组合数的性质，考查利用排列组合知识解决实际问题，本题是一个易错题，易错点是组合数的运算不正确16将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是【分析】画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三
13、顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率【解答】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图三角形ABC的面积为S1=34=6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1=故答案为：【点评】本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式三.解答题17设an是等比数列，公比为q（q0且q1），4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和为S4=15（1）求an通项公式；（2）令bn=a
14、n+2n（n=1，2，3），求bn的前n项和【分析】（1）通过4a1，3a2，2a3成等差数列，利用首项、公比表示出前三项计算可知公比为2，利用前四项和计算可知首项，进而可得通项公式；（2）通过（1）可知bn=2n1+2n，进而利用分组法求和即可【解答】解：（1）4a1，3a2，2a3成等差数列，23a2=4a1+2a3，又数列an是等比数列，6a1q=4a1+2，即q23q+2=0，解得：q=2或q=1（舍），又S4=15，=15，即a1=1，数列an是首项为1、公比为2的等比数列，数列an通项公式an=2n1；（2）由（1）可知bn=2n1+2n（n=1，2，3），数列bn的前n项和为+2
15、=2n+n2+n1【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18城市规划管理意见中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从25，55岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：组数分组认同人数认同人数占本组人数比第一组25，30）1200.6第二组30，35）195p第三组35，40）1000.5第四组40，45）a0.4第五组45，50）300.3第六组50，55）150.3（1）完成所给频率分布直方图，并求
16、n，a，p（2）若从40，45），45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在40，45）内的人数记为，求随机变量的分布列和期望【分析】（1）由频率=，利用已知条件能完成所给频率分布直方图，并能求出n，a，p（2）由40，45）年龄段中认同人数为60人，45，50）两段中认同人数为30人，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，40，45）年龄段中抽取6人，45，50）年龄段中抽取3人，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（1）设25，30）年龄段人数为x人，由题意，解得x=200
17、，25，30）年龄段人数的频率为0.045=0.2，解得n=100030，35）年龄段人数的频率为：1（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3，30，35）年龄段人数为0.31000=300，p=0.65，40，45）年龄段人数的频率为0.035=0.15，40，45）年龄段人数为0.151000=150，a=1500.4=60完成频率分布直方图如下：（2）由（1）得40，45）年龄段中认同人数为60人，45，50）两段中认同人数为30人，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，40，45）年龄段中抽取6人，45，50）年龄段中抽取3人，的可能取值为0，1，2，P（=0）=，P
18、（=1）=，P（=2）=，的分布列为： 0 1 2 PE=【点评】本题考查频率分布直方图、频率分布列的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）（1）求证：平面PAC平面PAB；（2）若P为半圆周中点，求此时二面角PACD的余弦值【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明PC面PAB即可证明平面PAC平面PAB；（2）连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点的空间直角坐标系如图：求出平面的法向
19、量，利用向量法进行求解即可二面角PACD的余弦值【解答】证明：（1）半圆O以BC为直径，PCPB，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，ABCD是矩形，AB底面BPC，则ABPC，ABBP=B，PC面PAB，PC平面PAC，平面PAC平面PAB，（2）连接OP，作OE垂直BC，建立以O为坐标原点，OP，OE，OC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则P（1，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），A（0，1，1）=（1，1，1），=（1，1，0），则平面ACD的一个法向量为=（1，0，0），设=（x，y，z）是平面PAC的法向量，则，令x=1，则y=1，z=2，即=（1，1，2），co
20、s，=，二面角PACD是钝二面角，二面角PACD的余弦值是【点评】本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法20椭圆E： +=1（ab0）的焦点到直线x3y=0的距离为，离心率为，抛物线G：y2=2px（p0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）是否存在学常数，使为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求出c的值，结合土偶眼离心率求出a的值，再由抛物线G：y2=2px（p0）的焦点与椭圆E的焦点重
21、合即可求得椭圆方程和抛物线方程；（2）依次射出A，B，C，D四点的坐标，设出直线l的方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系分别写出A，B两点横坐标的和与积，写出C，D两点横坐标的和与积，利用弦长公式求出AB和CD的长度，代入后可求出使为常数的的值【解答】解：（1）设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得，联立解得所以椭圆E：，抛物线G：y2=8x（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）直线l的方程为y=k（x2），与椭圆E的方程联立，得（1+5k2）x220k2x+20k25=0=400k420（5k2+1）（4k21）=20（k2+1）0=
22、直线l的方程为y=k（x2），与抛物线G的方程联立，得k2x2（4k2+8）x+4k2=0=要使为常数，则20+=4，得故存在，使为常数【点评】本题主要考查了曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了设而不求的解题思想方法，考查了弦长公式的用法，直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题21已知函数f（x）=xlnx+a（1）若函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值；（2）设m0，当xm，2m时，求f（x）的最小值；（3）求证： , 【分析】（1）求出切点坐标，代入函数进行求解即可（2）求好的导数，判断函数的单调性进
23、行求解即可（3）令x=，利用（2）的结论，构造不等式进行证明即可【解答】解：（1）函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，此时y=2e，即切点坐标为（e，2e），则切点也在函数f（x）上，则f（e）=elne+a=e+a=2e，则a=e，（2）函数的导数f（x）=lnx+1，由f（x）0得x，由f（x）0得0x，即函数在（，+）上为增函数，在（0，）上为减函数，当2m，即m时，f（x）min=f（2m）=2mln2m+a，当m2m，即m时，f（x）min=f（）=+a，当m时，f（x）min=f（m）=mlnm+a（3）令x=，则x，由（2）知，xlnx+a+a，即xlnx，当x=时，
24、取等号，ln=，则ln，即e，即ln（1+）e1+， , 【点评】本题主要考查导数的综合应用以及利用导数证明不等式，综合性较强，难度较大选做题几何证明选讲22如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE；（）若AF=2，CF=2，求AE的长【分析】（I）如图所示，连接BE由于AE是O的直径，可得ABE=90利用E与ACB都是所对的圆周角，可得E=ACB进而得到ABEADC，即可得到（II）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF再利用AFCCFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin
25、ACD=sinAEB，AE=，即可得出答案【解答】证明：（I）如图所示，连接BEAE是O的直径，ABE=90又E与ACB都是所对的圆周角，E=ACBADBC，ADC=90ABEADC，AB：AD=AE：AC，ABAC=ADAE又AB=BC，BCAC=ADAE解：（II）CF是O的切线，CF2=AFBF，AF=2，CF=2，（2）2=2BF，解得BF=4AB=BFAF=2ACF=FBC，CFB=AFC，AFCCFB，AF：FC=AC：BC，AC=cosACD=，sinACD=sinAEB，AE=【点评】本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题极坐标与参数方程23（2016商洛模拟）
26、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=4（）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值【分析】（I）利用cos2+sin2=1消参数得到C1的普通方程，将极坐标方程左侧展开即可得到直角坐标方程；（II）利用C1的参数方程求出P到C2的距离，根据三角函数的性质求出距离的最小值【解答】解：（I）由得cos=，sin=y曲线C1的普通方程是，sin+cos=8即x+y8=0曲线C2的直角坐标方程时x+y8=0（II）设P点坐标（，sin）
27、，P到直线C2的距离d=，当sin（+）=1时，d取得最小值=3【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程下距离公式的最值，属于基础题不等式选讲24已知a+b=1，对a，b（0，+），+|2x1|x+1|恒成立，（）求+的最小值；（）求x的取值范围【分析】（）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（）利用第一问的结果通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围【解答】解：（）a0，b0且a+b=1=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9（）因为对a，b（0，+），使恒成立，所以|2x1|x+1|9，当 x1时，2x9，7x1，当时，3x9，当时，x29，7x11【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力
