1、高三数学试卷（理科）第卷一、选择题：1.已知向量，满足，则（ ）A. （1，2）B. （1，-2）C. （-1，2）D. （-1，-2）【答案】C【解析】【分析】将题目所给两个向量相减，求得.【详解】两个向量相减得，所以.故选：C.【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘的坐标运算，属于基础题.2.已知等差数列的首项为1，且，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 0【答案】A【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，解方程求得，进而求得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，.故选：A.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，属于基础题.3.在中，角，所对的边分别为，若，则（ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦公式把边化角，再由即可求解。【详解】解：由正弦定理得，因为，所以，.故选：【点睛】本题考查利用正弦定理解决问题，正弦定理：边化角：，属于基础题。4.若各项均为正数的等比数列的前n项和为，则（）A. 12lB. 122C. 123D. 124【答案】A【解析】【分析】根据题意已知，可用等比数列性质算出，又由进而算出可算得首项和公比，再利用公式求解即可。【详解】因为，所以又，所以，【点睛】若是等比数列，且，则，前项和公式。5.已知平面向量满足，且，则与的夹角为( )A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设与的夹角为，由题意求得的值，可得的值【
3、详解】因为，所以，即，因为，所以，记与的夹角为，则，解得，即与的夹角为.故选C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题6.已知 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数式的运算性质比较a与b的大小，再比较a，c与2的大小关系，由此得答案【详解】因为，所以.故选B.【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查对数函数与指数函数的性质，借用中间量是解决此类问题的常用方法，是基础题7.已知为第二象限角，则（ ）A. 1B. -1C. 0D. 2【答案】B【解析】【分析】把第一个根式分母有理化，第二个根式切化弦，开方后整理得答案。【详解】因为为第二象限角，所以，所以.故
4、选：【点睛】本题考查三角函数的化简求值及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题，、。8.在中，角，所对的边分别为，若，则为（ ）A. 直角三角形B. 锐角非等边三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】由余弦定理可得，又，故为等边三角形。【详解】在中，由余弦定理得，又，故为等边三角形.故选：【点睛】本题考查余弦定理在判断三角形形状的应用，属于基础题。9.已知函数，则的最小正周期和最大值分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求函数的最值，根据求最小正周期。【详解】故又即最小正周期为。故选：【点睛】本题考查函数的性
5、质，关键是利用辅助角公式将函数化简为的形式，属于基础题。10.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，利用已知得到的值，利用诱导公式和二倍角公式，求得的值.【详解】设，则，所以.因为，所以，则.故选：D.【点睛】本小题主要考查诱导公式和二倍角公式的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.11.函数在上图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除C，根据取值，排除B,D，故选A【详解】易知为偶函数，排除C因为，所以排除B，D故答案选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关
6、键，考查推理论证能力12.已知函数若函数有6个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分成，两种情况，求得的解析式，结合函数图像，根据零点个数，求得实数的取值范围.【详解】当，即或时，画出图像如下图所示，由图可知，当时，有4个不同的零点，当或时，有2个不同的零点，当时，没有零点.当，即时，设，则，因为，所以当或时，没有零点，当时，有1个零点，当时，有2个不同的零点.因为有6个不同的零点，所以.故选：A.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查函数变换，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.第卷二、填空题：
7、13.已知等比数列满足，则公比_.【答案】2【解析】【分析】根据等比数列的性质得到，代入已知条件，得到答案.【详解】因为为等比数列，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，属于简单题.14.已知向量，若，则_.【答案】【解析】【分析】先求得，然后根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】，由，可知，即.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平面向量加法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标，属于基础题.15.已知等差数列的前项和为，若，某三角形的三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】已知数列为等差数列，则其前项和为，即可求出的值，随即
8、可求数列的通项公式，根据大边对大角，小边对小角，由余弦定理即可求出最小角的余弦值。【详解】解：因为等差数列的前项和，由题意故，所以，从而，由此得，所以，.设该三角形三边分别，最小角为，则.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的前项和的性质以及余弦定理，属于基础题。16.设的内角，的对边分别为，若，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理将角化边，结合，用含的式子表示出边，即可求出的最小值。【详解】解：因为，所以由正弦定理有，即.由，得，故当时取最小值为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，主要体现在将角化边，属于基础题。三、解答题：17.已知函数的图象经过点（0,
9、1），函数的部分图象如图所示.（1）求，的解析式；（2）求的图象的对称中心与的单调递增区间.【答案】（1），.（2）对称中心为,单调递增区间为【解析】【分析】（1）根据的图像求得的周期，进而求得的值，也即求得的解析式，利用点求得的值，也即求得的解析式.（2）根据余弦型三角函数的对称中心和单调递增区间的求法，求得的对称中心和单调递增区间.【详解】（1）由图可知，的最小正周期，则，即.将代入，得.又，所以，所以，.（2）令，得，所以的图象的对称中心为.令，得，所以的单调递增区间为.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数对称中心和单调区间的求法，考查运算求解能力，属于中
10、档题.18.已知向量，函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）或0【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的运算可得： ，再结合三角函数的单调区间的求法可得解；（2）先由已知求出或（），再代入运算即可得解.【详解】（1）解：因为，所以= ，令 ，解得： ，故函数的单调递增区间为 （）； （2）因为，所以，即即，或（）；所以=或= 故的值为 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数的单调性及三角求值问题，属中档题.19.已知等差数列满足，.设正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）,（2）【解析】【分
11、析】（1）利用基本元的思想将表示为只含的表达式，由此求得的值，再根据等差数列通项公式求得数列的通项公式.将，表示为的形式，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得列的前项和为.【详解】（1）设公差为，因为，所以5+2d+5+3d=5+d+13，解得.又因为，所以因为，所以，b=9，即，又，所以，即，由除以，得，化简得，因为，所以，所以.（2）因为，所以，由减，得，所以.所以【点睛】本小题主要考查基本元的思想求解等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.20.的内角，所对的边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求的内切圆的半径.
12、【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理、诱导公式、降次公式以及同角三角函数的基本关系式化简，求得的值，进而求得的大小.（2）利用余弦定理列方程，求得的值，利用三角形面积公式求得，然后根据与三角形内切圆半径有关的三角形面积公式，求得三角形的内切圆半径.【详解】（1）由，得，即，亦即，所以，即，所以，从而.（2）由余弦定理结合（1）可知，所以，得.所以.故的内切圆的半径.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.已知二次函数的图象经过点（2，-6），方程的解集是.（1）求的解析式；（2）若
13、，求在上的最值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意设出二次函数两根式，将点代入，由此求得解析式.（2）首先求得解析式，求得的对称轴，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，由此求得在区间上的最值.【详解】（1）因为是二次函数，且方程的解集是，所以可设.因为的图象经过点，所以，即.故.（2）因为，所以，则的图象的对称轴为.根据二次函数图像与性质可知：当时，；当时，；当时，；当时，.【点睛】本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查含有参数的二次函数在给定区间上的最值的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.22.已知数列的前项和为，且满足:(1)证明：是等比数列，并求数列的
14、通项公式.(2)设，若数列是等差数列，求实数的值；(3)在(2)的条件下，设 记数列的前项和为，若对任意的存在实数,使得,求实数的最大值.【答案】（1） 证明过程见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由，再得出，两式作差，得出，再分奇数项，偶数项分别求通项公式即可得解；（2）由等差数列的等差中项可得恒成立，可得，解得;（3）由已知有，由裂项求和法求数列前项和得，由分离变量最值法可得，运算即可得解.【详解】解：（1）因为，所以，-得：，由易得，即，即，即数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，4为公比的等比数列，当为奇数时，当为偶数时，综上可得，又，故是等比数列，且数列的通项公式.(2)因为，所以，因为数列是等差数列，所以恒成立，即有恒成立，即，解得;(3)因为=，即，又对任意的存在实数,使得, 即对任意的 恒成立，又当时，取最小值3，时，即,故实数的最大值为.【点睛】本题考查了由关系求数列的通项、用裂项求和法求数列前项和及不等式恒成立问题，重点考查了分离变量最值法，属综合性较强的题型.
