1、20222023学年上学期高三年级第二次校内摸底考试（数学）科试卷时间：120分钟分值：150分命题：数学组审题：数学组一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，若集合满足，则（）ABCD2已知复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（）ABCD3已知等差数列中，为其前项和，则（）A5B6C7D84一种药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减现给某病人静脉注射了3600mg的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（，结果精确到
2、0.1）（）A2.7B2.9C3.1D3.35已知，且，则（）ABCD6过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（）条A0B2C3D47已知，且，则的值为（）ABCD8在中，为上一点，为线段上任一点，若，则的最小值是（）ABC6D8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分（漏选得2分，错选不得分）9已知函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）ABC的单调递增区间是D将的图像向左平移个单位，可以得到的图像10若直线与圆相交于，两点，则的长度可能为（）A22B24C26D2811设是过抛物线的焦点的弦，若，则下列结论正确的是（）ABC以弦为直径的圆与准线相切D12已知函数，的定义域均为
3、，且，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中常数项为_（用数字作答）14已知数列是递减的等比数列，则数列的前8项和等于_15若曲线在点处的切线方程是，则_16已知是椭圆和双曲线的交点，是，的公共焦点，分别为，的离心率，若，则的最小值为_四、解答题：本题共6小题，17题满分10分，1822题每题满分12分，共70分17已知数列的前项和，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18已知的内角，的对边分别为，且(1)求；(2)若，求的取值范围19新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒对
4、前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，获得了如下频数分布表竞赛成绩人数(1)从该样本中随机抽取名学生，求这名学生均获一等奖的概率；(2)若该市
5、所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望20如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，、分别是棱、的中点(1)求证：平面；(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值21已知椭圆过点，且离心率(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线交椭圆于、两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值，若不存在，说出理由22已知函数(1)求函数单调区间；(2)设函数，若是函数的两个零点，求证：1A【分析】先根据补集的定义求出，再根据元素与集合的关系逐一观
6、察选项即可.【详解】全集，故A正确，BCD错误，故选：A.2B【分析】求出复数的代数形式，进而可得其共轭复数.【详解】，则的共轭复数为，故选：B.3C【分析】先通过求出，再利用等差数列的性质计算即可.【详解】由已知，又数列为等差数列，由等差数列的性质，故选：C.4C【分析】根据指数函数与对数函数的运算法则即可求解.【详解】设注射后经过的时间为，血液中药物的含量为，则有，因为药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，所以令，解得.故选：C.5C【分析】利用向量坐标运算表示出，由模长构造方程求得后，根据数量积的坐标运算可求得结果.【详解】，解得：，.故选：C.6D【分析】过点且分别与渐近线平
7、行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点【详解】由双曲线得其渐近线方程为过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；设过点且与双曲线相切的直线为，联立，化为得到，解得则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条故选:.7A【分析】利用倍角公式将条件转化为关于的二次函数，求出，再利用同角三角函数的平方关系求出的值.【详解】由得，即，又，则，故选：A.8D【分析】利用共线定理求出定值，再用基本不等式即可求解.【详解】由题知，所以，又因为为线段上任一点，所以，所以当且仅当时等号成立，此时，.故选
8、：D.9AD【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，可判断A选项；由结合的取值范围求出的值，可判断B选项；利用余弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数的图像变换可判断D选项.【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，则，则，所以，A对；对于B选项，则，因为，则，所以，解得，B错；对于C选项，由上可知，由可得，因此，函数的单调递增区间为，C错；对于D选项，将的图像向左平移个单位，可得到函数的图像，D对.故选：AD.10BC【分析】先求得圆心到直线的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长的范围即可.【详解】因为直线过定点,故圆的圆心到直线的距离的最大值为.又圆的半径为,故弦长的最小值为.又当直线
9、过圆心时弦长取最大值为直径,故.故选：.11BCD【分析】设方程为，与抛物线方程联立得，从而证明B正确；由及基本不等式求得的最小值，知A错误；由可证得知D正确；对选项C：根据圆心到直线的距离判断是圆与准线否相切.【详解】抛物线的焦点， ，设直线方程为，与抛物线联立得，所以，故B正确；而，所以，当且仅当时取得最小值，故A错误；而，故成立，所以D正确；对选项C：设的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为， 则圆心到准线的距离，所以圆心到准线的距离等于半径，故以弦为直径的圆与准线相切，C正确；故选：BCD12ABD【分析】由的图象关于直线对称，则，结合得，推出为偶函数，结合推出，采用赋值法即可求得的
10、值，判断；继而对，赋值，求得，判断A；再推得函数的周期性，利用周期性求得的值，判断D.【详解】由题意知函数，的定义域均为，的图象关于直线对称，则 ， ，故为偶函数，由，得 ，代入，得，令，则，则，故B正确，C错误；因为，令，则，即，A正确；由，故，故由得，故.所以是以4为周期的周期函数，由,，令，则，得，则，又，令得，得，又，故，D正确.故选：【点睛】方法点睛：解答此类抽象函数的相关问题时，要根据题设条件推出函数具有的相关性质，这里主要用到整体代换的方法，从而推出抽象函数具有的相关等式，推出其具有的奇偶性以及对称性和周期性等，求函数值时，常常要采用赋值法，即令x取特殊值代入求值.13【分析】求
11、出二项式展开式的通式，令的次数为零即可得答案.【详解】的展开式的通式为，令得，则展开式中常数项为，故答案为：.14【分析】先利用等比数列的性质得，再和联立求出，则通过等比数列的通项公式可求出，再利用等比数列的求和公式求即可.【详解】由等比数列的性质得，联立，得或（舍去，数列是递减的等比数列）设等比数列的公比为，则，即，故答案为：.15【分析】求导，然后求出和，再结合切线方程可求出，则可求.【详解】由已知，则，由，又曲线在点处的切线方程是，故答案为：.16【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用基本不等式求解.【详解】设，不妨设在第一象限，因为点在椭圆上，
12、所以又因为点在双曲线上，所以则得；，在中由余弦定理得：，即，即，即即，当且仅当时取取等号，所以即的最小值为，故答案为：.【点睛】设，别为椭圆，和双曲线的公共左右焦点，是的离心率，若为的交点，则的关系式：.17（1）；（2）【详解】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由当时，有，得：化简得：，是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）由（1）得：， 18(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式变形可得答案；（2）利用正弦定理将
13、转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围.【详解】（1）由正弦定理可变形为，即，又；（2）由正弦定理，又，所以，即的取值范围是.19(1)(2)分布列答案见解析，【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.【详解】（1）解：由题意可知，这名学生中，获一等奖的学生人数为，因此，从该样本中随机抽取名学生，这名学生均获一等奖的概率为.（2）解：因为，则，从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，则，
14、所以，.所以，随机变量的分布列如下表所示：由二项分布的期望公式可得.20(1)证明见解析(2)【分析】（1）， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再由三角形中位线定理可得答案；（2）以为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立的空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为是圆的直径，所以，因为垂直于圆所在的平面，平面，所以，又因为，平面，平面PAC，所以平面，因为分别是棱的中点，所以，从而有平面；（2）由（1）可知，平面，平面，所以,平面，平面,所以为二面角的平面角，从而有，则，又，得，以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建
15、立如图所示的空间直角坐标系，,，所以，,设是平面的一个法向量，则，即，可取，设AE与平面ACD所成角为故，所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.21(1)(2)存在实数使得以为直径的圆恒过点，且.【分析】（1）由题意得，又离心率，解得，即可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入，设，利用韦达定理，假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点，则结合数量积为0，求解，即可推出实数使得以为直径的圆恒过点【详解】（1）解：已知椭圆过点，则，又离心率，且，所以可得，所以椭圆的方程为（2）解：依题意，设直线的方程为，代入，得设,，,，则，假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点，则又，即，将，代入，整理得，解得，
16、即当时，存在实数使得以为直径的圆恒过点【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22(1)单调递增区间为；单调递减区间为.(2)证明见解析【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间；（2）将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式,由可得，构造函数利用导数可求得，进而得到，根据的范围和单调性可得结论.【详解】（1）定义域为，当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；由（1）知：，又，在的图像如下图所示，不妨设，可知：，在上单调递增，在上单调递减；设，则，在上单调递减，又，又，；，在上单调递增，则.【点睛】解题的关键是根据证明的不等式构造函数把用一个未知数表示，利用导数可求得单调性再结合求解即可
