1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 二十八平面向量的数量积及平面向量的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|=()A.0B.1C.2D.【解析】选D.|a-b|= = =.2.向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)(2a-b),则向量a与b的夹角为()A.45B.60C.90D.120【解析】选C.因为(a+b)(2a-b),所以(a+b)(2a-b)=0,所以2a2-ab+2ba-b2=0,所以ab
2、=0,所以ab,所以向量a与b的夹角为90.3.在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量按逆时针旋转后,得向量,则点Q的坐标是 ()A.(-7,-)B.(-7,)C.(-4,-2)D.(-4,2)【解析】选A.设Q,xOP=,由题意的模为10,xOQ=+,其中cos=,sin=,所以由三角函数的定义得a=10cosxOQ=10cos= 10=-7,同理可以计算得b=-,所以点Q的坐标是(-7,-).4.(2015安徽高考)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)【解析】选D.因为=
3、-=(2a+b)-2a=b,所以|b|=2,故A错误;由于=2a(2a+b)=4|a|2+2ab=22=2,所以2ab=2-4|a|2=-2,所以ab=-1,故B,C错误;又因为(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2=4(-1)+4=0,所以(4a+b),故D正确.5.已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=,=(1-),R,若=-,则=世纪金榜导学号99972586()A.B.C.D.【解析】选A.因为=-,所以-=-+=-4-4+2=-22+2-2,解得=.【加固训练】在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,点E和点F分别在线段BC和CD上,
4、且=,=,则的值为_.【解析】在等腰梯形ABCD中,由ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,得=,=1,=-1,=,所以=+=1+-=.答案:二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017西安模拟)设向量a,b均为单位向量,且|a+b|=|a-2b|,则a与b夹角为_.【解析】由|a+b|=|a-2b|得|a+b|2=|a-2b|2,得(a+b)2=(a-2b)2,展开(a+b)2=(a-2b)2,得a2+2ab+b2=a2-4ab+4b2,则ab=b2=,cos=,则a与b夹角为.答案:【加固训练】若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角的余弦值为_.【解析】
5、|a|=|a+2b|,两边平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=|a|2+4|b|2+4|a|b|cos.又考虑到|a|=3|b|,所以0=4|b|2+12|b|2cos,得cos=-.答案:-7.对任意平面向量a,b,下列关系式中恒成立的是_.(填序号)|ab|a|b|;|a-b|a|-|b|;(a+b)2=a2+b2+2ab;(a+b)(a-b)=a2-b2.【解析】对于,|ab|=|a|b|cos|a|b|(为a,b的夹角)恒成立;对于,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于,容易判断恒成立.答案:8.已知向量,|=3,则=_.【解析】因为,所以=0.所以=(+)=+=|
6、2+0=32=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知平面向量a=(,-1),b=.世纪金榜导学号99972587(1)证明:ab.(2)若存在不同时为零的实数k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且cd,试求函数关系式k=f(t).【解析】(1)因为ab=-1=0,所以ab.(2)因为c=a+(t2-3)b, d=-ka+tb,且cd,所以cd=a+(t2-3)b(-ka+tb)=-ka2+t(t2-3)b2+t-k(t2-3)ab=0.又因为a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,ab=0,所以cd=-4k+t3-3t=0,所以k=f(t)=(t0).10.已
7、知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b) =61.世纪金榜导学号99972588(1)求a与b的夹角.(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求ABC的面积.【解析】(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又因为|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6.所以cos=-.又因为0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角=,所以ABC=-=.又因为|=|a|=4,|=|b|=3,所以SABC=|sinABC=43=3
8、.(20分钟40分)1.(5分)(2017沈阳模拟)在ABC中,若|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则=()A.B.C.D.【解析】选B.由向量的几何意义可知,ABC是以A为直角的直角三角形,E, F为BC的三等分点,不妨设=+,=+,因此=+=4+1=.2.(5分)(2017福州模拟)已知,|=,|=t,若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于 ()A.13B.15C.19D.21【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,则B,C(0,t),=,=(0,t),=+=t+(0,t)=(1,4),所以P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-2=1
9、3,当且仅当t=时,取“=”.3.(5分)(2017九江模拟)在正方形ABCD中,AB=AD=2,M,N分别是边BC,CD上的动点,且MN=,则的取值范围为_.世纪金榜导学号99972589【解题指南】建立平面直角坐标系,设CM=a,得出关于a的解析式,根据a的范围和基本不等式得出答案.【解析】以AB,AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图:设CM=a,则CN=.所以0a.所以M(2,2-a),N(2-,2).所以=(2,2-a),=(2-,2).所以=4-2+4-2a=8-2(a+).因为2aa2+()2=2,所以(a+)2=2+2a4.所以a+2.又由三角形的性质可得MC+CNMN=,当M,C
10、,N三点共线时,MC+CN=MN=.所以a+2.所以当a+=时,取得最大值8-2;当a+=2时,取得最小值4.答案:4,8-24.(12分)已知平面上三点A,B,C,=(2-k,3),=(2,4).世纪金榜导学号99972590(1)若三点A,B,C不能构成三角形,求实数k应满足的条件.(2)若ABC为直角三角形,求k的值.【解析】(1)由三点A,B,C不能构成三角形,得A,B,C在同一直线上,即向量与平行,所以4(2-k)-23=0,解得k=.(2)因为=(2-k,3),所以= (k-2,-3),所以=+=(k,1).若ABC为直角三角形,则当A是直角时,即=0,所以2k+4=0,解得k=-
11、2;当B是直角时,即=0,所以k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;当C是直角时,即=0,所以16-2k=0,解得k=8.综上得k的值为-2,-1,3,8.5.(13分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2, -1).世纪金榜导学号99972591(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)方法一:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为4,2.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为
12、E,则:E为BC的中点,E(0,1),又E(0,1)为AD的中点,所以D(1,4).故所求的两条对角线的长分别为BC=4,AD=2.(2)由题设知:=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得:(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.或者:=t,=(3,5),t=-.【加固训练】已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),0.(1)若|a-b|=,求证:ab.(2)设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.【解析】(1)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0,故ab.(2)因为c=a+b=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以由此得, cos=cos(-).由0,得0-,又0,所以=,=.关闭Word文档返回原板块
