1、高考资源网（） 您身边的高考专家第5讲平面向量考情分析平面向量是高考的必考内容，近几年命题较稳定，常以客观题的形式出现，主要考查向量的线性运算、坐标运算及向量数量积的性质、利用向量数量积求夹角、模等有时也作为工具参与三角函数、解析几何等综合命题，属于中、低档难度题热点题型分析热点1平面向量的概念与线性运算1.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量2.利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e1，e2的线性组合1e12e2，常用方法有
2、两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理来求解；二是利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程求解如图，在OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD2DB，DC和OA相交于点E.若O，则()A. B.C. D.答案C解析解法一：设Oa，Ob，由题意得DOOOAOOBOOOOO2OO2ab.因为Oa，设D2 ab，又OOD，所以ab2 ab2 ab，所以所以.解法二：由题意知，ABAC，OD2DB，过点A作AFOB交CD于点F(图略)，则，即AFBDOD，故AEOE，则OEOA，又O，故.在运用向量共线定理时，向量a与b共线，即存在实数保持ab成立的前提条
3、件是b0.热点2平面向量的数量积1.平面向量的数量积的运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化2.夹角公式(为向量a，b的夹角，a(x1，y1)，b(x2，y2)cos.3.模|a|.4.abab0x1x2y1y20.1.(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，即ab|
4、b|20.又ab|a|b|cos，|a|2|b|，2|b|2cos|b|20，cos.又0，.故选B.2.(2017天津高考)在ABC中，A60，AB3，AC2，若2，(R)，且4，则的值为_答案解析由题意知A60，AB3，AC2，32cos603，()，()223322254.解得.3.(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案2解析|a2b| 2.(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.1.要注意夹角的取值范围：0180，第1题容易出现的问题有两个：一是向
5、量模的平方的正确运算；二是特殊角的余弦值的求法，易错为30.2.对于第2题这类涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素本题中，由于A60，AB3，AC2，故可选A和A作为基底求解该题时容易出现两个错误：一是不能通过向量的运算把A用A和A线性表示；二是两向量的差AAB，容易把差向量的方向颠倒导致出错.3.平面向量中涉及到有关模长的问题，通常是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度第3题容易对向量的模与数量积的关系理解不清导致错误，如认为
6、|a2b|a|2b|.热点3交汇题型平面向量具有代数形式与几何形式的“双重性”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，充分体现平面向量的载体性与工具性交汇点一平面向量与三角典例1(2019江西新高考联盟质检)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m，n(cosC，cosA)，且mnbcosB，则B的值是()A. B. C. D.解析mncosCcosA，且mnbcosB，cosCcosAbcosB，即acosCccosA2bcosB.由正弦定理，得sinAcosCsinCcosA2sinBcosB，则sin(AC)2sinBcosB，即sinB2si
7、nBcosB.0B，sinB0，cosB，B.故选B.答案B平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化，进而解决平面向量与“三角”相交汇题.设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，若mn1cos(AB)，则C()A. B. C. D.答案C解析依题意得sinAcosBcosAsinB1cos(AB)，sin(AB)1cos(AB)
8、，sinCcosC1，2sin1，sin.又C，因此C，C，故选C.交汇点二平面向量与解析几何典例2(2019南昌二模)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的左、右焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a22，b21，c23，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)(y0)(y0)xy3.又知y1，x22y，3y10.y00，b0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足(O)0(O为坐标原点)，且3|4|PF2|，则双曲线的离心率为_答案5解析如图所示，由于点P在双曲线右支上，则由双曲线
9、的定义可得|PF1|PF2|2a，又3|PF1|4|PF2|，解得|PF1|8a，|PF2|6a，则由(O)0，即(O)()0，则有|O|2|2，则在PF1F2中，|OP|OF2|OF1|，所以F1PF290，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即有64a236a24c2，c5a，故e5.真题自检感悟1.(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A解析根据向量的运算法则，可得()，故选A.2.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A.2 B C D1答案B解析(解析法
10、)建立坐标系如图1所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1，0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B.(几何法)如图2所示，2(D为BC的中点)，则()2.要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，问题转化为求|的最大值又|2，|22，当且仅当|P|P|时等号成立，()min(2)min2.故选B.3(2019江苏高考)如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若6，则的值是_
11、答案解析解法一：如图1，过点D作DFCE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点又BE2EA，则知EFEA，从而可得AOOD，则有()，所以6()22，整理可得232，所以.解法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示设E(1,0)，C(a，b)，则B(3,0)，D. O.6，(3,0)(a，b)6(a1，b)，即3a6，a2b23，AC.专题作业一、选择题1.(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A.4 B3 C2 D0答案B解析因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213，故选B.2.(2015全国卷)设D为AB
12、C所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.答案A解析由题意得，故选A.3.(2019百校联盟TOP20联考)已知a(x,1)，b(2，4)，若(ab)b，则x等于()A.8 B10 C11 D12答案D解析a(x,1)，b(2,4)，ab(x2,5)，又(ab)b，(x2)(2)200，x12.故选D.4.(2018北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析|a3b|3ab|a3b|2|3ab|2a26ab9b29a26abb2，因为a，b均为单位向量，所以106ab1
13、06abab0ab，即“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要条件故选C.5.(2019成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|1，|b|，则a2b与b的夹角是()A. B. C. D.答案A解析根据平行四边形法则作出a2b，如图所示：因为|a|2|b|1，所以平行四边形为菱形，又因为向量a，b的夹角为，所以a2b与b的夹角为.故选A.6.(2019永州模拟)在ABC中，BAC60，AB5，AC6，D是AB上一点，且5，则|等于()A.1 B2 C3 D4答案C解析如图所示，设k，所以k，所以(k)k225k5625k155，解得k，所以|3.故选C.7.(2019四省联考诊断)若向量
14、a(1,2)，b(1，m)，且ab与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是()A.(0,2) B(，2)C.(2,2) D(，0)(2，)答案D解析ab(0,2m)，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得0，即2mm20，解得m2.故选D.8.(2019长沙长郡中学调研)已知ABC中，250，延长BD交AC于E，则等于()A. B. C. D.答案D解析取特殊三角形，令A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，则有D，直线BD的方程为，化简得yx，令x0，解得y，所以E，故选D.9.(2019晋江四校期中)点M是ABC的边BC上任意一点，N在线段AM上，且xy，若xy，则NBC的面积与ABC的面
15、积的比值是()A. B. C. D.答案C解析如图，设(01)，(1)，()()()，xy，且xy，则3.3，则，又NBC与ABC的底边BC相等，NBC的面积与ABC的面积的比值是.故选C.10.(2018浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1 C2 D2答案A解析设e(1,0)，b(x，y)，则b24eb30x2y24x30(x2)2y21.如图所示，设aO，bO，|ab|min|CD|11(其中CDOA)故选A.11(2018天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BA
16、D120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则AB的最小值为()A. B.C. D3答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，因为点E在CD上，则D(01)，设E(x，y)，则，即据此可得，E，且A，B，由数量积的坐标运算法则可得，AB，整理可得，AB(4222)(01)，结合二次函数的性质可知，当时，AB取得最小值.故选A.12.已知向量，满足|1，(，R)，若M为AB的中点，并且|1，则的最大值是()A.1 B1C. D1答案B解析因为向量，满足|1，所以将A，B放入平面直角坐标系中，令A(1,0)，B(0，1)，又因为M为AB的中点，所以M.因为(，R)，所以(1,0)
17、(0,1)，即点C(，)，所以，因为|1，所以221，即点C(，)在以为圆心，1为半径的圆上令t，则t，将其代入圆221的方程，消去得到关于的一元二次方程：222t0，所以(2t)2420，解得1t1，即的最大值是1，故选B.二、填空题13.已知向量OA，|O|3，则OO_.答案9解析OA，|O|3，OOO(OA)O2OAO29.14.已知向量a，b的夹角为60，|a|1，|b|2，若(ab)(2ab)，则_；若(ab)(2ab)，则_.答案解析因为(ab)(2ab)，所以存在唯一实数n，使得abn(2ab)，所以12n，n，解得.因为(ab)(2ab)，且向量a，b的夹角为60，|a|1，|
18、b|2，所以(ab)(2ab)2a2(12)abb221240，解得.15.(2019新疆昌吉教育共同体月考)若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则的值为_答案解析以AC的中点为坐标原点，AC所在的直线为x轴，AC边上的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，C(1,0)，B(0，)，(2,0)，(1，)，所以(1，)(2,0)，所以(2,0)，所以(1，)，所以.16.在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为线段BC上的点，则AD的最小值为_答案解析解法一：设B(01)，则AA，DDCA(1)，AD(A)A(1)又|A|2，|B|1，且ABBC即AB0，AD4(1)242.当时，AD最小为.解法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，设E(2，y)(0y1)，则A(2，y)，D(2，y1)，ADy2y42.当y时，AD最小为.- 20 - 版权所有高考资源网
