1、2020-2021学年四川省成都市郫都区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1函数f（x）ex+x+2，其导函数为f（x），则f（0）（）A2B3C4De+12已知向量（3，2，1），（2，m），若，则实数m的值为（）A6BCD3在曲线yx2上切线倾斜角为的点是（）A（0，0）B（2，4）C（，）D（，）4已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，且，则下列结论一定正确的是（）AmnBmnCm与n相交Dm与n异面5若函数f（x）axcosx为增函数，则实数a的取值范围是（）A1，+）B1，+）C（1，+）D（1，+）6已知空间四边形OABC
2、，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，用向量，表示向量是（）ABCD7函数f（x）的部分图象大致为（）ABCD8如图，阴影部分是曲线yex与x轴，y轴及直线x1围成的封闭图形现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入800个点，其中恰有500个点落在图中阴影部分，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A2.667B2.737C2.718D2.7859如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA14，点E、M分别为棱CC1、BB1的中点若平面ACM平面A1B1C1D1l，则直线l与平面B1D1E所成角的正切值为（）
3、ABCD10在平面向量中，我们用表示在方向上的投影，换个角度，点O在直线OB的法向量方向上的投影就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（）ABCD11如果过点（0，1）可作曲线的三条切线，则实数c的取值范围是（）ABCD12已知f（x）是定义在（0，+）上的函数，且f（1）1，导函数f（x）满足f（x）f（x）恒成立，则不等式f（x）ex1的解集为（）A（1，+）BCD（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13sinxdx 14函数f（x）xlnx的单调递减区间为 15在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC
4、CC11，则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为 16若函数f（x）x2+x+1aex有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设函数f（x）x3+bx，曲线yf（x）在点处的切线与y轴垂直（1）求b；（2）求函数yf（x）的极值18已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a46，S1166（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，求证：b1+b2+bn1192020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式某村盛产脐橙，为了更
5、好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间200，500（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示（1）按分层抽样的方法从质量落在250，300），300，350）的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A所有脐橙均以7元/千克收购；B低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案（参考数据：（2250.05+27
6、50.16+3250.24+3750.3+4250.2+4750.05354.5）20在五边形AEBCD中，BCCD，CDAB，AB2CD2BC，AEBE，AEBE（如图1）将ABE沿AB折起，使平面ABE平面ABCD，线段AB的中点为O（如图2）（1）求证：平面ABE平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小21ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asin（A+B）ccos（1）求A；（2）已知b1，c3，且边BC上有一点D满足SABD3SADC，求AD22已知函数f（x）（1）若f（x）在x1处取得极值，求实数a的值；（2）讨论f（x）在（0，1）上的单调性
7、；（3）证明：在（1）的条件下f（x）+xex0参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1函数f（x）ex+x+2，其导函数为f（x），则f（0）（）A2B3C4De+1解：f（x）ex+1，f（0）1+12故选：A2已知向量（3，2，1），（2，m），若，则实数m的值为（）A6BCD解：因为向量（3，2，1），（2，m），所以时，即，解得，m故选：D3在曲线yx2上切线倾斜角为的点是（）A（0，0）B（2，4）C（，）D（，）解：y2x，设切点为（a，a2）y2a，得切线的斜率为2a，所以2atan451，a，在曲线yx2上切线倾斜角为的点是（，）故选：D4已知m，n是两条不同
8、的直线，是两个不同的平面，若m，n，且，则下列结论一定正确的是（）AmnBmnCm与n相交Dm与n异面解：因为m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，且，作图如下：设nA，过A作m，则m，n，mn；故选：A5若函数f（x）axcosx为增函数，则实数a的取值范围是（）A1，+）B1，+）C（1，+）D（1，+）解：f（x）axcosx为增函数，f（x）a+sinx0恒成立，asinx恒成立，ysinx1，1，a1，故选：B6已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，用向量，表示向量是（）ABCD解：故选：C7函数f
9、（x）的部分图象大致为（）ABCD解：f（x）f（x），函数f（x）为奇函数，排除选项B和C，当x+时，ex比x增长的快，f（x）0，排除选项D，故选：A8如图，阴影部分是曲线yex与x轴，y轴及直线x1围成的封闭图形现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入800个点，其中恰有500个点落在图中阴影部分，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A2.667B2.737C2.718D2.785解：根据题意，阴影部分是曲线yex与x轴，y轴及直线x1围成的封闭图形，则A（1，0），B（1，e），C（0，e），则阴影部分的面积Sexdxexe1，矩形OABC的面积Se，则有，变形可得：e2
10、.667；故选：A9如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA14，点E、M分别为棱CC1、BB1的中点若平面ACM平面A1B1C1D1l，则直线l与平面B1D1E所成角的正切值为（）ABCD解：平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ACM平面A1B1C1D1l，平面ACM平面ABCDAC，lAC，直线l与平面B1D1E所成角即为直线AC与平面B1D1E所成角，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4），E（0，2，2），（2，2，0），（2，2，0），（0，2，2）
11、，设平面B1D1E的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），则直线AC与平面B1D1E所成角的正弦值为sin，cos，直线l与平面B1D1E所成角的正切值为tan故选：B10在平面向量中，我们用表示在方向上的投影，换个角度，点O在直线OB的法向量方向上的投影就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（）ABCD解：由题意知，（1，2，1），（0，1，1），设平面BCD的法向量为（x，y，z），则，即，令y1，则x1，z1，所以（1，1，1），因为（2，0，1），所以点A到平面BCD的距离为d|故选：D11如果过点（0，1）可作曲线的三
12、条切线，则实数c的取值范围是（）ABCD解：设切点为（a，a3a2+c），因为f（x）x3x2+c，所以f（x）x22x，则切线的斜率kf（a）a22a，由点斜式可得切线方程为y（a3a2+c）（a22a）（xa），因为切线过点（0，1），所以1（a3a2+c）（a22a）（0a），即c1a3a2，因为过点（0，1）可作曲线yf（x）的三条切线，所以关于a的方程c1a3a2有三个不同的根，令g（x）x3x2，g（x）2x22x0，解得x0或x1，当x0时，g（x）0，当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，所以g（x）在（，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，
13、所以当x0时，g（x）取得极大值g（0）0，当x1时，g（x）取得极小值g（1），关于a的方程c1a3a2有三个不同的根，等价于yg（x）与yc1的图象有三个不同的交点，所以c10，即c1，故选：B12已知f（x）是定义在（0，+）上的函数，且f（1）1，导函数f（x）满足f（x）f（x）恒成立，则不等式f（x）ex1的解集为（）A（1，+）BCD（0，1）解：f（x）f（x），令g（x），则g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递减，又f（1）1，g（1），f（x）ex1，即g（x）g（1），x1，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13sinxdx0解：sinxdxc
14、osxcos1cos（1）cos1+cos10故答案为：014函数f（x）xlnx的单调递减区间为（0，解：函数的定义域为x0ylnx+1令lnx+10得0x，函数yxlnx的单调递减区间是（ 0，故答案为（0，15在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCCC11，则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为1解：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（0，0，1），A1（1，0，1），C（0，1，0），（1，0，1），（1，1，1），1+010，AB1A1C，即异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为1故答案为：1
15、16若函数f（x）x2+x+1aex有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为0a1或a解：令f（x）x2+x+1aex0，则a，令g（x），则g（x），令g（x）0，则x0，x1，当x（，0）时，g（x）0，g（x）单调递减；当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增；当x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减；且g（0）1，g（1），g（x）0，大致图象如图：可知0a1或a故答案为：0a1或a三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设函数f（x）x3+bx，曲线yf（x）在点处的切线与y轴垂直（1）求b；（2）求函数yf（x）的极值解：（1）由f
16、（x）3x2+b，得；（2），由f（x）0得，由f（x）0得，所以函数f（x）在单调递增，在单调递减，所以f（x）的极大值为，极小值为18已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a46，S1166（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，求证：b1+b2+bn1【解答】（1）解：由S1111a666得a66设公差为d，则a6a24d4，d1所以ana2+（n2）d2+（n1）1n（2）证明：由（1）得所以192020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下1
17、00个脐橙进行测重，其质量分布在区间200，500（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示（1）按分层抽样的方法从质量落在250，300），300，350）的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A所有脐橙均以7元/千克收购；B低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案（参考数据：（2250.05+2750.16+3250.24+3
18、750.3+4250.2+4750.05354.5）解：（1）由分层抽样可得，脐橙质量在250，300）和300，350）的比例为2：3，所以应该分别在250，300）和300，350）的脐橙中各取2个和3个，2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率为；（2）方案B好，理由如下：由频率分布直方图可知，脐橙质量落在区间200，250），250，300），300，350），350，400），400，450），450，500）的频率依次为0.05，0.16，0.24，0.3，0.2，0.05，且各段脐橙的个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000个，若按方案A收购，
19、因为单个脐橙的质量平均为2250.05+2750.16+3250.24+3750.3+4250.2+4750.05354.5克，所以总收益为354.510000010007248150元；若按方案B收购，总收益为（5000+16000+24000）2+550003255000元，因为方案B的收益比方案A的收益高，故该村选择方案B出售20在五边形AEBCD中，BCCD，CDAB，AB2CD2BC，AEBE，AEBE（如图1）将ABE沿AB折起，使平面ABE平面ABCD，线段AB的中点为O（如图2）（1）求证：平面ABE平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小【解答】（1）证
20、明：AB2CD，O是线段AB的中点，则OBCD又CDAB，则四边形OBCD为平行四边形，又BCCD，则ABOD，因AEBE，OBOA，则EOABEODOO，则AB平面EOD又AB平面ABE，故平面ABE平面EOD（2）解：易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，EAB为等腰直角三角形，且AB2CD2BC，则OAOBODOE，取CDBC1，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），设平面ECD的法向量为（x，y，z），则有取z1，得平面ECD
21、的一个法向量（0，1，1），因OD平面ABE则平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，则，故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为4521ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asin（A+B）ccos（1）求A；（2）已知b1，c3，且边BC上有一点D满足SABD3SADC，求AD解：（1）因为，由正弦定理得，因为sinC0，所以，所以，因为，所以，所以，所以（2）解法一：设ABD的AB边上的高为h1，ADC的AC边上的高为h2，因为SABD3SADC，c3，b1，所以，所以h1h2，AD是ABC角A的内角平分线，所以BAD30，因为SABD3SADC，
22、可知，所以，所以解法二：设，则，因为SABD3SADC，c3，b1，所以，所以，所以，因为SABD3SADC，可知，所以，所以解法三：设ADx，BDA，则ADC，在ABC中，由c3，b1及余弦定理得因为SABD3SADC，可知，在ABD中，AB2BD2+AD22BDADcos，即，在ADC中，即，所以22已知函数f（x）（1）若f（x）在x1处取得极值，求实数a的值；（2）讨论f（x）在（0，1）上的单调性；（3）证明：在（1）的条件下f（x）+xex0【解答】（1）解：因为f（x），f（x）在x1处取得极值，则f（1）0，所以1a+ln10，解得a1，验证知a1符合条件（2）解：f（x），当
23、a1时，在x（0，1）上，f（x）0恒成立，f（x）单调递减；当a1时，令f（x）0，解得xea+1，当x（0，ea+1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（ea+1，1）时，f（x）0，f（x）单调递增综上，当a1时，f（x）在（0，1）上单调递减；当a1时，f（x）在（0，ea+1）上单调递减，在（ea+1，1）上单调递增（3）证明：由（1）知f（x），则f（x）+xex，令g（x）x2exlnx1，g（x）2xex+x2ex，g（x）在（0，+）上单调递增，当x0时，g（x），当x时，g（）20，则x0（0，），使g（x0）0，即，则当x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，当（x0，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，所以g（x）g（x0）lnx01，令h（x）lnx1，x（0，），h（x）0，所以h（x）单调递减，所以h（x）h（）ln20，所以g（x）0，所以f（x）+xex0，得证
