1、章 末 归 纳 整 合 【知识构建】专题一 向量法用向量法来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体几何教材中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使问题变得简单化，这是用向量法解立体几何题的独到之处【思想方法专题】用向量法解决的问题有：(1)利用两个向量共线的条件和共面向量定理，可以证明有关平行、共面的问题；(2)利用两个向量垂直的充要条件可以证明和计算与垂直有关的问题；(3)利用两个非零向量的夹角公式可以求解有关空间角的问题；(4)利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关空间距离的问题【例1】如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，A
2、BC 4，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)求证：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；(3)求B到平面OCD的距离解：作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P0，22，0，D 22，22，0，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N1 24，24，0.(1)连接OP，MN 1 24，24，1，OP 0，22，2，OD 22，22，2.设平面OCD的一个法向量为n(x，y，z)，则nOP 0，nOD 0，即 22 y2z0，22 x 22 y2z0.取z 2，解得n(
3、0,4，2)MN n1 24，24，1(0,4，2)0，MN平面OCD.(2)设AB与MD所成的角为，AB(1,0,0)，MD 22，22，1，cos|ABMD|AB|MD|12.3，即AB与MD所成角的大小为3.(3)设点B到平面OCD的距离为d，则d为OB在向量n(0,4，2)上的投影的长由OB(1,0，2)，得d|OB n|n|23，所以点B到平面OCD的距离为23.【方法点评】本题根据已知条件建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解变式训练1.(2015年陕西)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD 2，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE
4、折起到A1BE的位置，如图2.(1)求证：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值图1 图2(1)【证明】ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD2，BEAC，即BEOA1，BEOC.BE平面A1OC.ADBC，DEBC1，BCDE为平行四边形CDBE.CD平面A1OC.(2)【解析】BEOA1，BEOC，A1OC为二面角A1BEC的平面角平面A1BE平面BCDE，A1OC2.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B22，0，0，E 22，0，0，A10，0，22，C0，22，0，BC 22，22，0，A1C 0，22，22，CD B
5、E 2，0，0.设平面A1BC的法向量为m(x，y，z)，平面A1CD的法向量为n(a，b，c)，mBC0，mA1C 0，即xy0，yz0，令x1，则m(1,1,1)nA1C 0，nCD 0，即bc0，a0，令b1，则n(0,1,1)cosm，n mn|m|n|63.平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为 63.专题二 参数法在解决立体几何问题时，判断线面、面面的位置关系，求线面角、二面角及空间距离时经常需要求平面的法向量，当平面的法向量不明显时，需要设出平面的法向量n(x，y，z)，然后利用向量n与平面的垂直关系列出方程组求出向量n.【例2】如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥VABC的
6、底面ABC，等边三角形AB1C所在的平面与底面ABC垂直且ACB90，AC2a，BCa.(1)求证：B1C1AB1，B1C1A1C1；(2)求点A到平面VBC的距离；(3)求二面角AVBC的余弦值(1)证明：取AC的中点O，连接B1O，可知OB1底面ABC，过点O作OEBC交AB于点E.以点O为原点，OE，OC，OB1 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，a,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，B1(0,0，3a)因为BC(a,0,0)，AB1(0，a，3a)，所以BCAB1(a,0,0)(0，a，3a)0.所以BCAB1.所以BCAB1.又因为B
7、1C1BC，所以B1C1AB1.由已知BCAC，ACA1C1，所以BCA1C1.而BCB1C1，所以B1C1A1C1.(2)解：设平面VBC的一个法向量n(x，y，z)，又CB1(0，a，3a)，由nBC，nCB1，得x，y，za，0，00，x，y，z0，a，3a0，即ax0，ay 3az0，取z1，得n(0，3，1)点A到平面VBC的距离等于 AB1 在平面VBC的法向量n上的射影的长又AB1(0，a，3a)，设所求距离为d，则d|AB1 n|n|2 3a2 3a.所以点A到平面VBC的距离为 3a.(3)解：设平面VAB的一个法向量m(x1，y1，z1)，又AB(a,2a,0)，由mAB1
8、，mAB，得mAB1 0，mAB0，即ay1 3az10，ax12ay10，取z11，得m(2 3，3，1)所以cosm，n mn|m|n|14.结合图形知二面角AVBC为锐角，所以二面角AVBC的余弦值为14.【方法点评】本题若用纯立体几何的方法求解，则会遇到繁琐的几何证明以及作图，故创造建系的环境转化成空间向量，以坐标计算来代替几何证明和作图要用向量法求点A到平面VBC的距离，须要先用设参数的方法求出平面VBC的一个法向量，同样，要求二面角AVBC余弦值的大小，也须先用参数法求出平面VAB的一个法向量注意一个平面的法向量有无数个，我们只要取其中的一个即可变 式 训 练 2 如 图，在 多
9、面 体 A1B1D1DCBA 中，四 边 形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)求证：EFB1C；(2)求二面角EA1DB1的余弦值(1)【证明】A1B1CD且A1B1CD，四边形A1B1CD为平行四边形B1CA1D.又B1C平面A1EFD，B1C平面A1EFD.平面A1EFD平面B1CD1EF，EFB1C.(2)【解析】以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(0,2,2)，E(1，1,2)AD1平面A1B1CD，AD
10、1(0,2,2)为平面A1B1CD的一个法向量设平面A1EFD的一个法向量为n(x，y，z)，A1D(0,2，2)，A1E(1,1,0)，nA1D 0，nA1E 0，即2y2z0，xy0，取y1，得n(1,1,1)cosn，AD1 nAD1|n|AD1|63.二面角EA1DB1的余弦值为 63.专题三 求二面角的大小用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补【例3】如图，在三棱锥PABC中，ACBC2
11、，ACB90，APBPAB，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求二面角BAPC的正弦值(1)证明：ACBC，APBP，CPCP，APCBPC.又PCAC，PCBC.ACBCC，PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB.(2)解：如图，以C为原点，BC，CA，CP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2，0,0)，设P(0,0，t)|PB|AB|2 2，t2，P(0,0,2)取AP中点E，连接BE，CE.|AC|PC|，|AB|BP|，CEAP，BEAP.BEC是二面角BAPC的平面角【方法点评】求二面角的大小，可以作出垂直于棱的两个
12、向量，转化为这两个向量的夹角，但应注意，两向量的始点应在二面角的棱上E(0,1,1)，EC(0，1，1)，EB(2，1，1)cosBEC ECEB|EC|EB|22 6 33.二面角BAPC的正弦值为 63.变式训练3.在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ADBC，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD12，求平面SCD与平面SBA所成的二面角的正切值【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，S(0，0,1)，DC 12，1，0，DS 12，0，1.平面SAB的一个法向量是AD 12，0，0.设n(x，y，z)是平面SCD的一个法向
13、量，则 nDC 0，nDS0，即12xy0，12xz0，取x1，得n1，12，12.cosAD，n AD n|AD|n|63.设二面角为，则cos 63，tan 22，即所求二面角的正切值为 22.专题四 用空间向量证明平行与垂直问题(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法：利用线线线面向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使pxayb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题设n为平面的法向量，a为直线l的方向向量，若l，要证明l，只须证明an0.(2)证明线面垂直的常用方法有：设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则an(为非零实数)a与n共线l.l是直线a，b所
14、在平面外的直线，a，b相交，l，a，b分别为直线l，a，b的方向向量，则有la0且lb0la且lbl.【例4】如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA平面ABCD，ADBC，ADDC，ADC和ABC均为等腰直角三角形，PAADDCa，点E为侧棱PB上一点且BE2EP.求证：(1)平面PCD平面PAD；(2)直线PD平面EAC.证明：(1)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ADCD，PAADA，CD平面PAD.又CD平面PCD，平面PCD平面PAD.(2)如图，取BC中点M，连接AM，ABC为等腰直角三角形，AMBC.分别以AM，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立
15、空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)BE2EP，E13a，13a，23a.AE13a，13a，23a，AC(a，a,0)，PD(0，a，a)AC3AE(0,2a，2a)2PD.PD 12AC32AE.PD 与AC，AE共面又PD平面EAC，PD平面EAC.【方法点评】在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要让尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上.变式训练4.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点求证：平面AEC1平面AA1C1C.【证明】由题
16、意知AB，BC，BB1两两垂直，以B为原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12，AA1(0,0,1)，AC(2,2,0)，AC1(2,2,1)，AE2，0，12.设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x1，y1，z1)则n1AA1 0，n1AC0，即z10，2x12y10，令x11，得y11，n1(1,1,0)设平面AEC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)则n2AC1 0，n2AE0，即2x22y2z20，2x212z20，令z24，得x21，y21，n2
17、(1，1,4)n1n2111(1)040，n1n2.平面AEC1平面AA1C1C.空间向量与立体几何是高考考查的重要知识点之一，每年都有一道解答题可以借助空间向量判断空间中的位置关系、求空间角和空间距离等【解读高考】1(2018 年新课标)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为()A15 B 56 C 55 D 22【答案】C【解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC1，AA1 3，A(1,0,0)，D1(0,0
18、，3)，D(0,0,0)，B1(1,1，3)，AD1(1,0，3)，DB1(1,1，3)设异面直线 AD1 与 DB1 所成的角为，则cos AD1 DB1|AD1|DB1|22 5 55.故选 C2.(2019年新课标)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)求证：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小.【解析】(1)证明：由已知可得 ADBE，CGBE，ADCG.AD，CG 确定一个平面，A，C，G，D 四点共面.由四边形 ABED 为矩形，得 ABBE.由ABC 为直角三角形，得 ABBC.又 BCBEE，AB平面 BCGE.又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE.3.(2019 年 天 津)如 图，AE 平 面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长.
