1、数列通项公式的求法03三、特殊方法1、法，即。思路：如果数列满足的某种关系是由数列的前项和给出时，则可以构造出式和式，然后利用公式，将式和式做差，使其转化为数列的递推关系，再根据递推关系的特点，按照构造辅助数列等的方法求出数列通项公式。例1：已知数列的前项和满足。（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式。解：（1）由，得。由，得，由，得（2）当时，有，即；令，则，与比较得，；是以为首项，以2为公比的等比数列；，故。补充练习：设数列的前项的和，。（1）求首项与通项；（2）设，证明：。解：（1），解得：；所以数列是公比为4的等比数列，所以：；得：，。（2）；所以，。2、对数变换法思路：将一阶
2、递推公式取对数得。例2：若数列中，且（是正整数），则它的通项公式是 。解：因为，将两边取对数得，即，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，即。补充练习：已知数列满足，（），求数列的通项公式。解：由可得， 故。3、平方（开方）法例3：若数列中，2且（），求数列的通项公式。解：将两边平方整理得。数列是以4为首项，3为公差的等差数列，。因为，所以。4、求差（商）法例4：若数列满足，求数列的通项公式。解：当时，设当时，得：，综上，。5、迭代法例5：已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数
3、得，即，再由累乘法可推知，从而。6、换元法例6：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则，故，代入得，即，因为，故，则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。补充练习：1、已知正数数列中，且关于的方程，有相等的实根。（1）求的值；（2）求证：，。解：（1）由得，又，则。（2）由得 ，。2、已知数列中，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为 。解：由知， ，记，则，所以，关于单调递减，的最大值为，又，则，由题意知，又，故的最小值为10。3、（汉诺塔问题）传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱上，自上而下按由小到大的顺序串有64个金盘。要求将左边柱子上的64个金盘按照下面的规则移到右边的柱子上。试问一共移动了多少次？规则：一次只能移一个盘子；盘子只能在三个柱子上存放；任何时候大盘不能放在小盘上面。解：若当上有个铁片时，共需要移动次才能将铁片全部移到上，则当上有个铁片时，为了将上面的个铁片先移到上，根据假设为此需移动次，这样在移动1次就可将上的最下面的一个大铁片移到上，然后将上的各铁片移到上，这又需要移动次，于是一共移动了（）次。由此可得，数列的递推公式为，即，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，。
