1、专题十五概率与统计(见学生用书P92)(见学生用书P92)1在古典概型中，事件A的概率公式P(A)2在几何概型中，事件A的概率公式P(A)，其中表示区域的几何度量，A表示区域A的几何度量3不可能同时发生的事件叫做互斥事件，若事件A和B为互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)，这个公式推广到n个互斥事件时也成立(P(AB)也可记为P(AB)4抽样方法包括：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法5频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各个小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积和等于1.6众数、平均数、中位数是描述数据的集中趋势的量，方差、标准差则是描述数据的波动大小其中，方差的计
2、算公式为s27茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，如数据为三位数，则把十位和百位数字放在一起作为茎，个位数字作为叶8回归分析(1)回归直线方程：x一定过样本点中心， (2)样本相关系数r当r0时，表明两变量正相关；当r0时，表明两变量负相关|r|越接近1，表明两变量的线性相关性越强；|r|越接近0，表明两变量的线性相关性越弱9独立性检验K2，其中nabcd.(见学生用书P93)考点一事件与概率考点精析1判断事件关系时要注意：(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系2求解随机事件的概率关
3、键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图列举3求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便例 11(2014泰安模拟)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为()A BC
4、D考点：对立事件分析：根据对立事件的概念进行判断解析：至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件答案：B点评：本题考查了对立事件的概念对立必然互斥，互斥不一定会对立例 12(2015江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_考点：随机事件的概率分析：求出总的试验结果，2只球颜色不同的结果，再用公式计算即可，或用对立事件的概率和为1求解解析：由于总的试验结果只有6种，2只球颜色不同的结果有5种，所以所求事件的概率P.(方法2)由于总的试验结果有6种，其中2只球的颜色相同的结果有1种，由
5、于互为对立事件的概率之和为1，所以所求事件的概率P1.答案：点评：本题考查了随机事件的概率，可用直接法或间接法求解变式训练【11】 (2015全国卷)如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为()A. B.C. D.解析：基本事件为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10个可构成勾股数的基本事件为(3，4，5)，故所求概率为.故选C.答案：C【12】 (2015广东卷)已
6、知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A0.4 B0.6C0.8 D1解析：设3件合格品为A1，A2，A3，2件次品为B1，B2，从5件产品中任取2件共有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，10种恰有1件次品有6种，P.答案：B考点二古典概型考点精析1在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的2概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P(AB)P(A
7、)P(B)，此时P(AB)0.例 21(2015天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛()用所给编号列出所有可能的结果；()设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率考点：分层抽样、古典概型分析：(1)根据分层抽样的每层抽样比相同原理直接求解；(2)用列举法列出基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解
8、解析：(1)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)()从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛，所有可能的结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种()编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为A1，A5，A1，A6, A2，A5，A2，A6, A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9种，所以事件A发生的概率P(A).点评：本题考查了分层抽样、古典概型，解题的关键是用列举法列出所
9、有的基本事件，再用公式计算变式训练【21】 (2015山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015人，所以从该班级随机
10、选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率为P.考点三几何概型考点精析几何概型的常见类型的判断方法：(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)
11、与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，其试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示例 31(2014深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.考点：几何概型分析：根据几何概型知识，概率为体积之比解析：根据几何概型知识，概率为体积之比，即P.答案：A点评：关键是理解“安全飞行”的空间为正方
12、体，且边长为(42)例 32(2015湖北卷)在区间上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1p2 Bp2p1C.p2p1 Dp1p2考点：几何概型、线性规划分析：根据几何概型知识，概率为面积之比，分别求出p1，p2，再比较大小解析：“xy”对应区域面积为S1，“xy”对应区域面积为S2，如图p1S1，p2S2.由图可知S1，所以p1p2.故选D.答案：D点评：本题关键是要把线性的约束条件表示的平面区域表示出来，把概率的大小转化为面积之比，属于中档题变式训练【31】 (2015福建卷)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点
13、C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B. C. D.解析：由B(1，0)，得C(1，2)，D(2，2)，A(2，0)，又yx1与yx1交于y轴(0，1)点，S阴影31，S矩形236，所求概率为，故选B.答案：B考点四随机抽样方法考点精析1解决区分抽样方法的问题，先要弄清三种抽样方法的意义与本质，然后根据三种抽样方法适应的情况进行判断，这样才能保证求解的正确性2求抽取样本的相关参数问题的基本步骤是：一要明确是哪一种抽样方法，是分层抽样还是系统抽样；二要利用好分层抽样或系统抽样的基本关系；三是建立参数的关系式来求解，要注意在计算时应细心
14、、准确例 41(2015北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90 B100C180 D300考点：分层抽样分析：根据分层抽样的抽样比相等原理求解解析：抽取的样本中青年教师有320人，占该校青年教师人数的，所以样本中老年教师人数为900180.故选C.答案：C点评：本题考查分层抽样，只需按分层抽样的抽样比分层抽样即可，属于基础题例 42(2014黄冈模拟)要采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为
15、此将他们随机编号为1，2，3，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，抽到的32人中，编号落入区间的人数为n1，编号落入区间的人数为n2，其余的人数为n3，则n1n2n3()A15107 B1598C112 D1499考点：系统抽样方法分析：根据系统抽样的定义先确定每组人数为9603230人，即抽到号码的公差d30，然后根据等差数列的公式即可得到结论解析：根据系统抽样的定义先确定每组人数为9603230人，即抽到号码的公差d30.第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，等差数列的首项为29，则抽到号码数为an2930(n1)30n1，由30n1450，得30n451
16、，即n15，n15，即编号落入区间的人数为15人，即n115.由45130n1750，得45230n751，即n，则15n25，16n25，即编号落入区间的人数为2516110人，即n210.所以n33215107人故n1n2n315107.答案：A点评：本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键规律总结随机抽样方法(特别是分层抽样与系统抽样)是历年高考的热点，一般设置为选择题、填空题，难度为容易题，牢记抽样方法的本质是解决这类问题的关键变式训练【41】 (2015湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：130034566888914
17、11122233445556678150122333若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中提取7人，则其中成绩在区间上的运动人数是()A3 B4C5 D6解析：按系统抽样抽取7人，即把35人按135编号后平均分成7段，各段间隔为5.由于成绩在区间上的运动员的人数为20，被抽取的人数为4.故选B.答案：B考点五用样本估计总体考点精析1解决频率分布直方图的相关问题，首先，要读懂频率分布直方图所描述的问题，其次，根据频率分布直方图提供的数据进行相关的计算2求解样本数据的数字特征的相关计算问题：一要熟悉公式，二要计算准确例 51(2015安徽模拟)2014年“双节”期间，高速公路车
18、辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：后得到如图的频率分布直方图(1)该调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数和平均数；(3)若从车速在内，其频率分布直方图如图所示(1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间内购物者的人数为_解析：(1)a3.(2)10 0006 000，消费金额在区间内的购物者的人数为6 000.答案：(1)3(2)6 000【52】 (2014上海模拟)从一堆苹果中任取5只，称得它
19、们的质量分别为(单位：克)x，127，y，125，123，且平均质量为125，则该样本方差s2的最小值为_解析：x，127，y，125，123，且平均质量为125，(x127y125123)125，xy250，y250x，样本方差s2(x125)2，当x125时，s2的最小值是.答案：【53】 (2015重庆卷)重庆市2014年各月的平均气温()数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A19 B20C21.5 D23解析：这组数据按照从小到大排列是8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，共12个数据，所以这组数据的中位数是20，故选B.答案：B【54】 (2015
20、安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：. (1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A. B.C. D.解析：由1log1，得x2，解得0x，所以事件“1log1”发生的概率为，故选A.答案：A3(2015四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()
21、A抽签法 B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法解析：因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法故选C.答案：C4(2015山东卷)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A B C D解析：由茎叶图中的数据通过计算求得,x) 甲2
22、9，,x) 乙30，s甲，s乙，,x) 甲s乙，故正确选B.答案：B5(2015湖北卷)已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关解析：由y0.1x1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关故选C.答案：C6(2015太原模拟)已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2 km处，B地在O地正北方向2 km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作
23、为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A. B.C1 D1解析：在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是11，故选D.答案：D7(2015陕西卷)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.解析：由复数的模的定义得|z|1，即(x1)2y21.在(x1)2y21表示的区域内，满足yx的部分如图阴影部分由几何概型可知所求概率为P.答案：C8(2015安徽模拟)
24、我们把形如“1 324”和“3 241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间隔的数)，由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为()A. B.C. D.解析：通过画树状图可知由1，2，3，4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1 324，1 423，2 143，2 314，2 413，3 142，3 241，3 412，4 132，4 231，共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为.故选B.答案：B二、填空题9(2015重庆卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个
25、容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_解析：男生人数为900400500.设应抽取男生x人，则由得x25.即应抽取男生25人答案：2510若不等式组表示的平面区域为M，(x4)2y21表示的平面区域为N，现随机向平面区域M内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是_解析：如图所示：P.答案：11(2015重庆卷)在区间上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_解析：令函数f(x)x22px3p2(xp)2p23p2，方程x22px3p20有两个负根等价于函数f(x)x22px3p2的图象与x轴的负半轴有两个交点由实根分布，问题即转化为即又因为p，所以满足题意的p的
26、范围是又由几何概型的概率计算公式得，所求事件的概率是.答案：12(2014长沙模拟)下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y0.7x0.35，那么表中t的值为_解析：样本点中心为，代入回归方程，得0.74.50.35，解得t3.答案：3三、解答题13(2015湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球若摸出
27、的2个球都是红球则中奖，否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率你认为正确吗？请说明理由解析：(1)所有可能的摸出结果是A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2(2)不正确理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为1，故这种说法不正确14(2015广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：
28、度)，以分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户数分别为15，10，5.故用分层抽样的方式抽取11户居民，月平均用电量在220，240)的用户中应抽取115(户)15(2014辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被
29、调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率附：K2.P(K2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析：(1)将22列联表中的数据代入公式计算，得K24.762.由于4.7623.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，其中ai表示喜欢甜品的学生，i1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j1，2，3.由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)事件A由7个基本事件组成，因而P(A).
