1、第二章 基本初等函数()本章达标检测(满分:150 分;时间:120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数 f(x)=3-x+log2(x+1)的定义域为()A.-1,3)B.(-1,3)C.(-1,3 D.-1,3 2.已知全集 U=R,集合 A=x|y=ln(x-x2),集合 B=|(13)1,则(UA)B=()A.x|x1 B.x|0 x1 C.x|x0 D.x|x0 或 x1 3.若幂函数 y=f(x)的图象经过点(3,33),则此函数在定义域上是()A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇
2、函数 4.函数 g(x)=lg(ax+2+1)是奇函数,则 a 的值为()A.1 B.-1 C.0 D.1 5.在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=1与 g(x)=lg的图象可能是()6.若函数 f(x)=2,1,-log2,1,则函数 f(x)的值域是()A.(-,2)B.0,+)C.(-,0)(0,2)D.(-,2 7.已知函数 f(x)=e-1,ab B.a+bab C.a+b=ab D.a-b=ab 9.若 0 xy1,则()A.3y3x B.logx3logy3 C.log4xlog4y D.(14)0,则 f(a)+f(b)的值()A.恒等于 0 B.恒小于 0 C.恒大于 0
3、 D.无法判断 12.已知函数 f(x)=loga(6-ax)(a0,且 a1)在 x2,3)上为减函数,则 a 的取值范围是()A.(1,2)B.(1,2 C.(1,3)D.(1,3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答 案填在题中的横线上)13.若幂函数 f(x)=(3a-5)xa+1的图象过函数 g(x)=cx+b的图象所经过的定点,则 b=.14.根据材料回答问题:对于等式 ab=c(a0,且 a1),如果将 a 视为自变量 x,b 视为常数,c 为关于 a(即 x)的函数,记为 y,那么 y=xb,是幂函数;如果将 a 视为常数,b 视为自变量 x,c
4、为关于 b(即 x)的函数,记为 y,那么 y=ax,是指数函数;如果将a 视为常数,c 视为自变量 x,b 为关于 c(即 x)的函数,记为 y,那么 y=logax,是对数函数.事实上,由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如,如果 c 为常数 e(自然对数的底数),将 a 视为自变量x,b 为关于 x 的函数,记为 y,那么 xy=,y=(x0,且 x1).(第一空 2 分,第二空 3 分)15.已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间0,+)上单调递增,若f(lg2lg50+(lg5)2)+f(lgx-2)0,则 x 的取值范围为 .16.对于函数 f(x),g(x)
5、,设 mx|f(x)=0,nx|g(x)=0,若存在 m,n 使得|m-n|(14)-log2(2x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围.20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x+m2-x是 R 上的偶函数.(1)求常数 m 的值;(2)若 f(x)=52,求 x 的值;(3)求证:对任意 x1,x2R,都有(1)+(2)2f(1+22).21.(本小题满分 12 分)有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,飞往繁殖地产卵.科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数 v=12log3100-lgx0,单位是 km/min,其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0表示测量过程中候
6、鸟每分钟的耗氧偏差.(参考数据:lg20.30,31.23.74,31.44.66)(1)若 x0=2,当候鸟每分钟的耗氧量为 8100 个单位时,它的飞行速度是多少?(2)若 x0=5,当候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?(3)如果雄鸟的飞行速度为 2.5km/min,雌鸟的飞行速度为 1.5km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍?22.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=ex-e是奇函数(e 为自然对数的底数).(1)求实数 a 的值;(2)求函数 y=e2x+e-2x-2f(x)在 x0,+)上的值域;(3)令 g(x)=f(x)+x,求不等
7、式 g(log2x)2)+g(2log2x-3)0 的解集.答案全解全析 第二章 基本初等函数()本章达标检测 1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C 11.C 12.B 一、选择题 1.C 由题意得3-0,+1 0,解得-10,所以 A=x|0 x1,所以UA=x|x1 或 x0,求解指数不等式(13)0,所以(UA)B=x|x1.故选 A.3.B 设幂函数 f(x)=x,因为幂函数 y=f(x)的图象经过点(3,33),所以33=3,得=-12,幂函数 y=-12是减函数,故选 B.4.D 函数 g(x)=lg(ax+2+1)是奇函数,则 g(x)
8、+g(-x)=0,即 lg(ax+2+1)+lg(-ax+(-)2+1)=lg(x2+1-a2x2)=0,从而可得 1-a2=0,解得 a=1.当 a=1 时,ax+2+1|x|+ax0,即定义域为 R,所以 a=1 时,g(x)=lg(ax+2+1)是奇函数,故选 D.5.A 由题意知 a0 且 a1,所以函数 g(x)=lg单调递减,故排除 B、D;对于 A、C,由函数 f(x)=1的图象可知 0a1,对于函数 g(x)=lg,g(1)=lga0,故 A 正确,C 错误.故选 A.6.A 解法一:因为 x1 时,2x2;x1 时,-log2x0,所以函数 f(x)的值域是(-,2),故选
9、A.解法二:作出函数 f(x)=2,1,-log2,1的图象,如图所示,由图象可知函数 y=f(x)的值域为(-,2).7.B 当 a2 时,f(a)=ea-11,得 a1,所以 1a2.当 a2 时,f(a)=log3(a+1)1,得 a2,所以 a2.综上所述,满足 f(a)1 的 a 的取值范围是1,+),故选 B.8.A a=14log213=-14log23,32log232,-12-14log23-38,即-12a(12)1=12,a+b0,abab.故选 A.9.C 因为 y=3x为增函数且 xy,所以 A 错误;y=log3x 为增函数且 0 xy1,故 log3xlog3y0
10、,即1log31log3logy3,所以 B 错误;y=log4x 为(0,+)上的增函数且 0 xy,故 log4xlog4y,所以 C 正确;y=(14)为减函数且 x0,得(3x)2+11,02(3)2+12,从而-2-2(3)2+10,因此-13-3-3+3-0,所以 a-b,所以 f(a)f(-b)=-f(b),故 f(a)+f(b)0.故选 C.12.B 设 u=6-ax.由 a0,且 a1,可知 u=6-ax 为减函数,由复合函数的单调性可知,当 f(x)=loga(6-ax)为减函数时,函数 y=logau 为增函数,即 a1.又易知 6-ax0 在 x2,3)上恒成立,所以当
11、 x=3 时,满足 6-3a0,解得 a2.综上,10,且 a1),如果 c 为常数 e(自然对数的底数),将 a 视为自变量 x,b 为关于 x 的函数,记为 y,那么 xy=e,y=logxe=lneln=1ln(x0,且 x1).15.答案(0,10)解析 lg2lg50+(lg5)2=(1-lg5)(1+lg5)+(lg5)2=1,f(lg2lg50+(lg5)2)+f(lgx-2)0,可化为 f(1)+f(lgx-2)0,函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,f(lgx-2)f(-1),又函数 f(x)在实数集 R 上单调递增,lgx-2-1,lgx1,0 x10.故 x 的
12、取值范围是(0,10).16.答案(0,12 解析 令 f(x)=log3(x+2)-e1-x=0,解得 x=1,已知函数 f(x)=log3(x+2)-e1-x与 g(x)=a4x-2x+1+2 互为“近邻函数”,则 g(x)=0 在|x-1|1,即 0 x2 时有解,故 a=2+1-24 在 0 x2 时有解,不妨设 h(x)=2+1-24,0 x-2 1-122+12=0,所以 y(0,12,所以 h(x)(0,12,则 a(0,12.三、解答题 17.解析(1)12-1+(3-22)0-94-0.5+(2-)44=2+1+1-23+-2(3 分)=+43.(4 分)(2)31+2log
13、35+lg5lg20+(lg2)2=33log352+lg5(lg5+lg22)+(lg2)2(6 分)=325+(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2(8 分)=75+(lg5+lg2)2=75+1=76.(10 分)18.解析(1)由题意得 1+1-0,1-0,3-4+2 0,(3 分)解得-1x(14)-log2(2x-1),得log122+12-1-(14)m.(8 分)令 g(x)=log122+12-1-(14),x32,52,若满足题意,则只需要 g(x)minm.(9 分)易知 g(x)在32,52上是增函数,所以 g(x)min=g(32)=-98.(11 分)所以 m
14、的取值范围是-,-98.(12 分)20.解析(1)由 f(x)是 R 上的偶函数,得 f(-x)=f(x),(2 分)即 2-x+m2x=2x+m2-x,解得 m=1.(4 分)(2)由(1)知 f(x)=2x+2-x.由 f(x)=52,得 2x+2-x=52,(6 分)解得 2x=2 或 2x=12,即 x=1 或 x=-1.(8 分)(3)证明:因为 f(x1)+f(x2)-2f(1+22)=21+2-1+22+2-2-2(21+22+2-1+22)=21+22-221+22+2-1+2-2-22-1+22=(212-222)2+(2-12-2-22)20,(11 分)所以 f(x1)
15、+f(x2)-2f(1+22)0,所以(1)+(2)2f(1+22).(12 分)21.解析(1)将 x0=2,x=8100 代入函数式,可得 v=12log381-lg2=2-lg22-0.30=1.70,(2 分)故此时候鸟飞行速度为 1.70km/min.(3 分)(2)将 x0=5,v=0 代入函数式,可得 0=12log3100-lg5,(5 分)即 log3100=2lg5=2(1-lg2)20.70=1.40,100=31.44.66,于是 x=466.(8 分)故候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为 466 个单位.(9 分)(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为 x1,雌鸟每分钟的耗氧量
16、为 x2,依题意可得 2.5=12 log31100-lg0,1.5=12 log32100-lg0,两式相减,可得 1=12log312,于是12=9.(11 分)故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍.(12 分)22.解析(1)由题意得函数 f(x)的定义域为 R,因为 f(x)为奇函数,所以 f(0)=0,故 1-a=0,即 a=1.(2 分)经检验,满足题目要求,故 a=1.(3 分)(2)由(1)知 f(x)=ex-1e.设 ex-1e=t(t0),则 e2x+1e2=t2+2,(4 分)设 y=h(t)=t2-2t+2=(t-)2+2-2,t0,+).当 0 时,
17、h(t)在0,+)上单调递增,所以 h(t)h(0)=2,所以 y=e2x+e-2x-2f(x)的值域为2,+);(6 分)当 0 时,h(t)min=h()=2-2,所以 y=e2x+e-2x-2f(x)的值域为2-2,+).(7 分)(3)g(x)=f(x)+x=ex-1e+x,定义域为 R,因为 f(x)为奇函数,所以 g(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-f(x)+x=-g(x),故 g(x)为奇函数.(8 分)下面判断 g(x)的单调性:任取 x1,x2R,且 x1x2,则 g(x1)-g(x2)=(e1-e2)-(1e1-1e2)+(x1-x2)=(e1-e2)(1+1e1+2)+(x1-x2).(9 分)因为 x1x2,所以(e1-e2)(1+1e1+2)0,x1-x20,所以 g(x1)g(x2),故 g(x)在 R 上单调递增.(10 分)所以由 g(log2x)2)+g(2log2x-3)0,得 g(log2x)2)-g(2log2x-3),又 g(x)为奇函数,所以 g(log2x)2)g(-2log2x+3),所以(log2x)2-2log2x+3,(11 分)所以(log2x)2+2log2x-30,解得 log2x1 或 log2x-3,故 x2 或 0 x18,故原不等式的解集为(0,182,+).(12 分)
