1、11.2空间向量基本定理新课程标准解读核心素养1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题数学抽象2.了解空间向量的基本定理及其意义直观想象“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子道德经第四十二章说文解字有对这句话的注释首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；
2、推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量问题(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？知识点一共面向量定理1共线向量基本定理空间中，若a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使cxayb1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若A，B，C三点共线，则与共线()(2)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上()(3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()答案：(1
3、)(2)(3)2若a与b不共线，且mab，nab，pa，则()Am，n，p共线 Bm与p共线Cn与p共线 Dm，n，p共面解析：选D由于(ab)(ab)2a，即mn2p，即pmn，又知m与n不共线，所以m，n，p共面3非零向量e1，e2不共线，使ke1e2与e1ke2共线的k的值是_解析：若ke1e2，e1ke2共线，则ke1e2(e1ke2)，所以所以k1.答案：1知识点二空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc其中a，b，c叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作基向量若pxaybzc，则称xay
4、bzc为p在基底a，b，c下的分解式共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较共线向量基本定理共面向量定理空间向量基本定理存在唯一的实数，使得ba如果a，b不共线，则a，b，c共面存在唯一实数对(x，y)，使cxayb如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc 1构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？提示：不可以2在四棱锥OABCD中，可表示为xyz且唯一，这种说法对吗？提示：对1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A3a，ab，a2b B2b，b2a，b2aCa，2b，bc
5、 Dc，ac，ac答案：C2.如图，已知四面体ABCD的三条棱b，c，d，M为BC的中点，试用基向量b，c，d表示向量解：M为BC的中点，()()()(bd)(cd)(bc2d).空间向量共线问题例1(链接教科书第16页练习A组2题)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线证明如图，连接AO，AC1，A1C1.，()2，2，(2)1，C1，O，M三点共线1要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线2证明空间三点
6、P，A，B共线的方法(1)(R)；(2)对空间任一点O，t (tR)；(3)对空间任一点O，xy (xy1).跟踪训练如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.2，b，()()abc.abc.又bcaabc，E，F，B三点共线空间向量共面问题例2(链接教科书第13页例1)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，是共面向量证明设a，b，c，四边形B1BCC1为平行四边形，ca.O是B1D1的中点，(ab)，(ab)，b(ab)(ba).，c，(ba)c.若存在实数x，
7、y，使xy (x，yR)成立，则caxy(xy)a(xy)bxc.a，b，c不共线，解得，是共面向量1解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有xy或xyz (xyz1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示2证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对空间任一点O，xyz (xyz1)；(4) (或或). 跟踪训练如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为AC上一点
8、，且ANNC2，求证：A1，B，N，M四点共面证明：设a，b，c，则ba，M为的中点，ca，又ANNC2，(bc)，(bc)a(ba)，为共面向量又三向量有相同的起点A1，A1，B，N，M四点共面基底的判断及应用角度一基底的判断例3(链接教科书第15页例2)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底？解假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面，此方程
9、组无解，即不存在实数x，y，使xy成立，不共面故，能作为空间的一个基底基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底 角度二空间向量基本定理的应用例4如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，解()()ba(cb)bacbabc.ab()ab(cb)a
10、bc.母题探究1(变条件)若把本例中的a改为a，其他条件不变，则结果又是什么？解：()b(ab)ab.()a(cb)abc.2.(变条件、变设问)如图所示，本例中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA”，试用基底a，b，c表示向量解：()()(acb)caabc.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，
11、b，c，不能含有其他形式的向量 跟踪训练设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_个解析：如图，设a，b，c，则x，y，z，abc由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面，可以作为空间的基底因xab，故a，b，x共面，故不能作为基底答案：31O，A，B，C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A，共线B，共线C，共线DO，A，B，C四点共面解析：选D由，不能构成基底，知，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面2给出
12、下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然正确中由，共面且过相同点B，故A，B，M，N共面下面证明正确假设d与a，b共面，则存在实数，使dab，d与c共线，c0，存在实数k，使
13、dkc，d0，k0，从而cab，c与a，b共面与条件矛盾d与a，b不共面同理可证也是正确的3从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取a，b，c，点G在PQ上，且PG2GQ，H为RS的中点，则_(用a，b，c表示)解析：如图，(bc)a.答案：abc4设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则2x4y2z_解析：如图，由已知() ()()，xyz，2x4y2z2.答案：25.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2)解：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，连接AC，AD1(图略).(1)()()(abc).(2)()abc.
