1、高考资源网（） 您身边的高考专家31.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系知识链接考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x22x30与函数yx22x3；(2)方程x22x10与函数yx22x1；(3)方程x22x30与函数yx22x3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案方程x22x30x22x10x22x30函数yx22x3yx22x1yx22x3函数的图象方程的实数根x11，x23x1x21无实数根函数的图象与x轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点
2、预习导引1函数的零点对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点存在的判定方法如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0不一定成立要点一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零
3、点，如果存在，请求出(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点跟踪演练1判断下列说法是否正确：(
4、1)函数f(x)x22x的零点为(0,0)，(2,0)；(2)函数f(x)x1(2x5)的零点为x1.解(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)x22x的零点为0和2，故(1)错(2)虽然f(1)0，但12,5，即1不在函数f(x)x1的定义域内，所以函数在定义域2,5内无零点，故(2)错要点二判断函数零点所在区间例2在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.答案C解析f20，f()10，ff0，零点在上规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中
5、的应用 ，若f(x)图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点跟踪演练2函数f(x)exx2所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)答案C解析f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点要点三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)ln xx23的零点的个数解方法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2
6、与yln x的图象只有一个交点从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点方法二由于f(1)ln 112320，f(2)ln 2223ln 210，f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个规律方法判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3
7、)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数跟踪演练3函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点1函数y4x2的零点是()A2 B(2,0)C. D.答案D解析令y4x20，得x.函数y4x2的零点为.2对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f(x)0一定无实数解C方程f(x)0一定有两实根D方
8、程f(x)0可能无实数解答案D解析函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解3函数ylg x的零点所在的大致区间是()A(6,7) B(7,8)C(8,9) D(9,10)答案D解析因为f(9)lg 910，f(10)lg 1010，所以f(9)f(10)0，所以ylg x在区间(9,10)上有零点，故选D.4方程2xx20的解的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析在同一坐标系画出函数y2x，及yx2的图象，可看出两图象有三个交点，故2xx20的解的个数为3.5函数f(x)x22xa有两个不同零点，则实数a的范围是_答案
9、(，1)解析由题意可知，方程x22xa0有两个不同解，故44a0，即a1.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础一、基础达标1下列图象表示的函数中没有零点的是()答案A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点2函数f(x)(x1)(x23x10)的
10、零点个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.3根据表格中的数据，可以断定函数f(x)exx2的一个零点所在的区间是()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案C解析由上表可知f(1)2.7230，f(2)7.3940，f(1)f(2)0，f(x)在区间(1,2)上存在零点4函数f(x)ln x2x6的零点所在的区间为()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)答案B解析f(1)ln 12640，f(2)ln
11、246ln 220，f(3)ln 366ln 30，所以f(2)f(3)0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)5方程log3xx3的解所在的区间为()A(0,2) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案C解析令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log30，f(3)log333310，那么方程log3xx3的解所在的区间为(2,3)6已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_答案0解析奇函数的图象关于原点对称，若f(x)有三个零点，则其和必为0.7判断函数f(x)log2xx2的零点的个数解令f(x)0，即log2xx20，即log2xx2.令y
12、1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点二、能力提升8若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，abc，f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内9若函数f(x)ax2x1仅有一个
13、零点，则a_.答案0或解析a0时，f(x)只有一个零点1，a0时，由14a0，得a.10设x0是方程ln xx4的解，且x0(k，k1)，kZ，则k_.答案2解析令f(x)ln xx4，且f(x)在(0，)上递增，f(2)ln 2240，f(3)ln 310.f(x)在(2,3)内有解，k2.11已知函数f(x)x22x3，x1,4(1)画出函数yf(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点？解(1)依题意：f(x)(x1)24，x1,4，其图象如图所示由图可知，函数f(x)的值域为4,5(2)函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点方程f(x
14、)m在x1,4上有两相异的实数根，即函数yf(x)与ym的图象有两个交点由(1)所作图象可知，4m0，0m4.当0m4时，函数yf(x)与ym的图象有两个交点，故当0m4时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点三、探究与创新12已知二次函数f(x)满足：f(0)3；f(x1)f(x)2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)f(|x|)m(mR)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)3，c3，f(x)ax2bx3.f(x1)a(x1)2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)，f(x)2xax2(b2)x3，f(x1)f(x)
15、2x，解得a1，b1，f(x)x2x3.(2)由(1)，得g(x)x2|x|3m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点由图象得解得3m，即实数m的范围是.13已知二次函数f(x)x22ax4 ，求下列条件下，实数a的取值范围(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内解(1)因为方程x22ax40的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得2a.(2)因为方程x22ax40的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)52a0，解得a.(3)因为方程x22ax40的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得a.- 9 - 版权所有高考资源网
