1、3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 第2课时 函数的平均变化率 第三章 函数 学 习 任 务核 心 素 养 1理解斜率的含义及平均变化率的概念(重点)2掌握判断函数单调性的充要条件(重点、难点)通过利用函数 f(x)的平均变化证明f(x)在 I 上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线请根据曲线图思考下列问题：问题(1)在区间6,17对应的曲线上任取不同两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，yxy2y1x2x1一定大于零吗？(2)如果在区间2,
2、10对应的曲线上任取不同两点 C(x3，y3)，D(x4，y4)，yxy4y3x4x3一定大于零吗？知识点一 直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 x1x2 时，称 为直线 AB 的斜率；(若记 xx2x1，相应的 yy2y1，当 x0 时，斜率记为yx)，当 x1x2 时，称直线 AB的斜率(2)作用：直线 AB 的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度y2y1x2x1x不存在1(1)过函数图像上两点 A(1,3)，B(2,3)的斜率yx_.(2)过点 M(1，m)，N(m1,4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为_(1)0(2)1(1)yx
3、33210.(2)由直线的斜率公式得4mm111，即4mm21，解得 m1知识点二 平均变化率与函数单调性 1平均变化率与函数单调性若 I 是函数 yf(x)的定义域的子集，对任意 x1，x2I 且 x1x2，记 y1f(x1)，y2f(x2)，yxy2y1x2x1即fxfx2fx1x2x1，则：(1)yf(x)在 I 上是增函数的充要条件是yx0 在 I 上恒成立；(2)yf(x)在 I 上是减函数的充要条件是yx0 在 I 上恒成立当 x1x2 时，称fxfx2fx1x2x1为函数 yf(x)在区间x1，x2(x1x2 时)或x2，x1(x1x2 时)上的平均变化率通常称 x 为自变量的改
4、变量，y 为因变量的改变量(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若 xx2x1，则 yf(x2)f(x1)；若 xx1x2，则 yf(x1)f(x2)(2)平均变化率可正可负，也可为零但是，若函数在某区间上的平均变化率为 0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等比如，f(x)x2 在区间2,2上的平均变化率为 0，但 f(x)x2 在2,2上的图像先下降后上升，值域是0,4(3)平均变化率fx2fx1x2x1的几何意义是函数 yf(x)图像上的两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)连线所在直线的斜率(4)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化
5、”利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”只有当 xx2x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”2平均变化率的物理意义(1)把位移 s 看成时间 t 的函数 ss(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段t1，t2上的平均速度，即 vst2st1t2t1.(2)把速度 v 看成时间 t 的函数 vv(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段t1，t2上的平均加速度，即 avt2vt1t2t1.2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)一次函数 yaxb(a0)从 x1 到 x2 的平均变化率为 a.()(2)函数 yf(x)的平均变化率yx
6、fx2fx1x2x1的几何意义是过函数 yf(x)图像上两点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)所在直线的斜率()(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率()答案(1)(2)(3)提示(1)一次函数yaxb(a0)从x1到x2的平均变化率为yxax2bax1bx2x1ax2x1x2x1 a.(2)由平均变化率的几何意义可知yxfx2fx1x2x1表示过函数 yf(x)图像上两点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)所在直线的斜率(3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有 x1x2.3.如图，函数 yf(x)在1,3上的平均变化率
7、为()A1 B1 C2D2 B yxf3f131133114.(对接教材 P99 例 4)一次函数 y2x3 在 R 上是_函数(填“增”或“减”)减 任取 x1，x2R 且 x1x2.y12x13，y22x2 3，yxy1y2x1x220，故 y2x3 在 R 上是减函数合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 平均变化率的计算【例 1】一正方形铁板在 0 时边长为 10 cm，加热后会膨胀，当温度为 t 时，边长变为 10(1at)cm，a 为常数试求铁板面积对温度的平均膨胀率思路点拨 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率 解 设温度的增量为 t，则
8、铁板面积 S 的增量为：S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，所以平均膨胀率St200(aa2t)100a2t.求平均变化率的 3 个步骤(1)求出或者设出自变量的改变量(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值跟进训练1路灯距地面 8 m，一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点 C 处沿直线匀速离开路灯(1)求身影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式；(2)求人离开路灯 10 s 内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率解(1)如图所示，设此人从
9、 C 点运动到 B 点的距离为 x m，AB 为身影长度，AB 的长度为 y m，由于 CDBE，则ABACBECD，即 yyx1.68，所以 y0.25x.(2)84 m/min1.4 m/s，则 y 关于 t 的函数关系式为 y0.251.4t0.35t，所以 10 s 内平均变化率yt3.5100.35(m/s)，即此人离开灯 10 s 内身影长度 y 关于时间 t 的平均变化率为 0.35 m/s.类型 2 利用平均变化率判断或证明函数的单调性【例 2】若函数 yf(x)是其定义域的子集 I 上的增函数且 f(x)0，求证：g 1fx在 I 上为减函数思路点拨 由 yf(x)在 I 上
10、为增函数的充要条件可得yx0，再证gx0 即可 证明 任取 x1，x2I 且 x2x1，则 xx2x10，yf(x2)f(x1)，函数 yf(x)是其定义域的子集 I 上的增函数，y0，yx0，gg(x2)g(x1)1fx2 1fx1fx1fx2fx1fx2.又f(x)0，f(x1)f(x2)0 且 f(x1)f(x2)0，g0，gx0，故 g 1fx在 I 上为减函数利用函数的平均变化率判断或证明单调性分哪 4 个步骤？提示(1)取值：任取 x1，x2D，且 x1x2.(2)计算：求 f(x2)f(x1)，fxx.(3)判符号：根据 x1，x2 的范围判断fxx 的符号，确定函数的单调性(4
11、)下结论：若fxx 0，则 f(x)在 I 上是增函数；若fxx 0)的对称轴与区间m，n可能存在几种位置关系？试画草图给予说明提示 2求二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n上的最值，应考虑哪些因素？提示 若求二次函数 f(x)在m，n上的最值，应考虑其开口方向及对称轴 x b2a与区间m，n的关系【例 3】已知函数 f(x)x2ax1，求 f(x)在0,1上的最大值思路点拨 fxx2ax1分类讨论 分析xa2与0，1的关系 数形结合 求fx的最大值解 因为函数 f(x)x2ax1 的图像开口向上，其对称轴为 xa2，当a212，即 a1 时，f(x)的最大值为 f(1)2a；当
12、a212，即 a1 时，f(x)的最大值为 f(0)11在题设条件不变的情况下，求 f(x)在0,1上的最小值解(1)当a20，即 a0 时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)的最小值为 f(0)1(2)当a21，即 a2 时，f(x)在0,1上单调递减，f(x)的最小值为 f(1)2a.(3)当 0a21，即 0a2 时，f(x)在0，a2 上单调递减，在a2，1 上单调递增，故 f(x)的最小值为 fa2 1a24.2在本例条件不变的情况下，若 a1，求 f(x)在t，t1(tR)上的最小值解 当 a1 时，f(x)x2x1，其图像的对称轴为 x12，当 t12时，f(x)在其上是增函数
13、，f(x)的最小值为 f(t)t2t1；当 t112，即 t12时，f(x)在其上是减函数，f(x)的最小值为 f(t1)t12234t2t1；当 t12t1，即12t12时，函数 f(x)在t，12 上单调递减，在12，t1 上单调递增，所以 f(x)的最小值为 f12 34.二次函数在闭区间上的最值设 f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数 f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系 b2amn，即 b2a(，m)m b2an，即b2a(m，n)mn b2a，即 b2a(n，)图像 最值f(x)maxf(n)，f(x)minf(m)f(x)maxmaxf
14、(n)，f(m)，f(x)minf b2af(x)maxf(m)，f(x)minf(n)当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1函数 f(x)在区间2，1上满足fx1fx2x1x20，且图像关于y 轴对称，则函数 f(x)在区间1,2上()A单调递增，且有最小值 f(1)B单调递增，且有最大值 f(1)C单调递减，且有最小值 f(2)D单调递减，且有最大值 f(2)1 3 5 2 4 C 函数 f(x)在区间2，1上满足fx1fx2x1x20，函数f(x)在区间2，1上是增函数 其图像关于 y 轴对称，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)minf(2)，f(x)maxf(1)故
15、选 C2 1 3 4 5 2函数 f(x)x从 1 到 4 的平均变化率为()A13B12C1D3A y 4 11，x413，则平均变化率为yx13.故选 A3 1 2 4 5 3已知函数 f(x)2x24 的图像上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则yx等于()A4B4xC42xD42(x)2C yf(1x)f(1)2(1x)24(24)2(x)24x，yx2x4，故选 C4 1 2 3 5 4李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度 h 是关于时间 t 的函数 h(t)，则函数
16、h(t)的图像可能是()4 1 2 3 5 B 由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有 B 中的图像符合题意2 4 5 1 3 5汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的变化规律如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3内的平均速度分别是 v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为_2 4 5 1 3 v 1 v 2 v 3 v 1st1st0t1t0kOA，v 2st2st1t2t1kAB，v 3st3st2t3t2kBC，由题图得 kOAkABkBC，v 1v 2v 3.回顾本节知识，自我完成以下问题：1平均变化率中对 x，y，y
17、x你是怎样理解的？提示(1)函数 f(x)应在 x1，x2 处有定义；(2)x2 在 x1 附近，即 xx2x10，但 x 可正可负；(3)注意变量的对应，若 xx2x1，则 yf(x2)f(x1)，而不是yf(x1)f(x2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零但是，若函数在某区间上的平均变化率为 0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等 2判断函数 yf(x)在 I 上单调性的充要条件是什么？提示(1)yf(x)在 I 上单调递增的充要条件是yx0 恒成立；(2)yf(x)在 I 上单调递减的充要条件是yx0 恒成立 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
