1、建平中学2021届高三下学期开学考试数学2021.02.24一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.1. 已知集合,则_.2. 复数的实部为_.3. 已知球的半径为3,则它的体积为_.4. 已知,则_.5. 若直线:与:互相垂直,则实数_.6. 已知且,设函数的最大值为1,则实数的取值范围是_.7. 若多项式,则的值为_.8. 若抛物线的准线与曲线只有一个交点,则实数的取值范围是_.9. 甲和乙等六名志愿者参加进博会,五个不同的岗位服务,每个人一个岗位,且每个岗位至少一人,且甲和乙不在同一岗位服务
2、,则不同的参加方法的种类为_.(结果用数字表示)10. 已知中,若点在边上,且,则的长为_.11. 有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”,例如的“积数”为2,的“积数”为6,的“积数”为,则数集的所有非空子集的“积数”的和为_.12. 已知是奇函数,定义域为.当时,当函数有3个零点,实数的取值范围是_.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑.选对得5分,否则一律得零分.13. 已知实数,满足,则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14.
3、 当时,方程组的解的情况为( )A. 仅有唯一解B. 有唯一解或无穷多解C. 无解或无穷多解D. 有唯一解或无解15. 在棱长为2的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值为( )A. 2B. C. D. 16. 已知的外接圆圆心为,若,则的最大值为( )A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5小题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图,在三棱锥中,底面,是边长为4的正三角形,侧棱与底面所成角为.(1)求三棱锥的体积;(2)若为中点,求异面直线与所成角的大小.18. 已知函数.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2
4、)在中,分别是角,的对边,若,的面积为,求的值.19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下,隧道内的车流速度(单位:千米/小时)和车流密度(单位:辆/千米)满足关系式:.研究表明:当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞,此时车道速度是0千米/小时.(1)若车流速度不小于50千米/小时,求车流密度的取值范围;(2)隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数,单位:辆/小时)满足,求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时),并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米).20. 在平面直角坐标系中,已知椭圆:的长轴长为4,且经过点.为左顶点,为下顶点,
5、椭圆上的点在第一象限,交轴于点,交轴于点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求线段的长;(3)试问:四边形的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.21. 已知正整数数列满足:,.(1)已知,求和的值;(2)若,求证;(3)求的取值范围.建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.1. 2. 0 3. 4. 5. 6. 7. 168. 9. 1680 10. 3 11. 1010 12. 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确
6、答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.13-16:DACB三、解答题(本大题共有5小题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤.17.【答案】(1)底面,为侧棱与底面所成的角,即,.又,故,即三棱锥的体积为16;(2)取中点,连结,则,就是异面直线与所成的角(或其补角),因为底面,底面.在直角三角形中,所以,所以异面直线与所成角的大小为.18.【答案】(1),所以最小正周期为,单调递减区间为,.(2)因为,所以,即,故,所以,所以.19.【答案】(1)由题意知当(辆/千米)时,(千米/小时),代入,得,解得,所以.当时,符合题意;当时,令,解
7、得,所以.综上,.答:若车流速度不小于50千米/小时,则车流密度的取值范围是.(2)由题意得,当时,为增函数,所以,等号当且仅当成立;当时,.即,等号当且仅当,即,即,成立.综上,的最大值约为3792,此时约为87.答:隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时,此时车流密度约为87辆/千米.20.【答案】(1)由题意得,解得.把点的坐标代入椭圆的方程,得.由于,解得,所以所求的椭圆的标准方程为.(2)因为,则得,即,又因为,所以直线的方程为.由解得,所以,即线段的长为.(3)由题意知,直线的斜率存在,可设直线:.令,得,由得,解得(舍去)或.所以.于是直线的方程为.令得,即.所以四边形的面积等于.即四边形的面积为定值.21.【答案】(1),;(2)由题意可得:,则,两式相减可得,即,因为是正整数数列,所以,于是.(3)由(2)知,若,即是周期为2的周期数列,则有,即.由是正整数数列,所以,经验证,均符合题意.若,当时,有,当时,有,两式相除可得(*),因为是正整数数列.所以(*)不可能成立.理由如下:若,则;若,则.综上,必有是周期为2的周期数列,且有,因为.