1、建平中学2021届高三下学期开学考试数学2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 已知集合，则_.2. 复数的实部为_.3. 已知球的半径为3，则它的体积为_.4. 已知，则_.5. 若直线：与：互相垂直，则实数_.6. 已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是_.7. 若多项式，则的值为_.8. 若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是_.9. 甲和乙等六名志愿者参加进博会，五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务
2、，则不同的参加方法的种类为_.（结果用数字表示）10. 已知中，若点在边上，且，则的长为_.11. 有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为_.12. 已知是奇函数，定义域为.当时，当函数有3个零点，实数的取值范围是_.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.选对得5分，否则一律得零分.13. 已知实数，满足，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14.
3、 当时，方程组的解的情况为（ ）A. 仅有唯一解B. 有唯一解或无穷多解C. 无解或无穷多解D. 有唯一解或无解15. 在棱长为2的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 16. 已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图，在三棱锥中，底面，是边长为4的正三角形，侧棱与底面所成角为.（1）求三棱锥的体积；（2）若为中点，求异面直线与所成角的大小.18. 已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2
4、）在中，分别是角，的对边，若，的面积为，求的值.19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时.（1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的长轴长为4，且经过点.为左顶点，为下顶点，
5、椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求线段的长；（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21. 已知正整数数列满足：，.（1）已知，求和的值；（2）若，求证；（3）求的取值范围.建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 2. 0 3. 4. 5. 6. 7. 168. 9. 1680 10. 3 11. 1010 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确
6、答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13-16：DACB三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17.【答案】（1）底面，为侧棱与底面所成的角，即，.又，故，即三棱锥的体积为16；（2）取中点，连结，则，就是异面直线与所成的角（或其补角），因为底面，底面.在直角三角形中，所以，所以异面直线与所成角的大小为.18.【答案】（1），所以最小正周期为，单调递减区间为，.（2）因为，所以，即，故，所以，所以.19.【答案】（1）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），代入，得，解得，所以.当时，符合题意；当时，令，解
7、得，所以.综上，.答：若车流速度不小于50千米/小时，则车流密度的取值范围是.（2）由题意得，当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立；当时，.即，等号当且仅当，即，即，成立.综上，的最大值约为3792，此时约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.20.【答案】（1）由题意得，解得.把点的坐标代入椭圆的方程，得.由于，解得，所以所求的椭圆的标准方程为.（2）因为，则得，即，又因为，所以直线的方程为.由解得，所以，即线段的长为.（3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线：.令，得，由得，解得（舍去）或.所以.于是直线的方程为.令得，即.所以四边形的面积等于.即四边形的面积为定值.21.【答案】（1），；（2）由题意可得：，则，两式相减可得，即，因为是正整数数列，所以，于是.（3）由（2）知，若，即是周期为2的周期数列，则有，即.由是正整数数列，所以，经验证，均符合题意.若，当时，有，当时，有，两式相除可得（*），因为是正整数数列.所以（*）不可能成立.理由如下：若，则；若，则.综上，必有是周期为2的周期数列，且有，因为.