1、系列丛书 进入首页第九章 算法初步、统计、统计案例第九章 算法初步、统计、统计案例第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第三节用样本估计总体第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点2理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差3能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并给出合理解释第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）4会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用
2、样本估计总体的思想5会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）主干知识整合 01 课前热身稳固根基第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点一 用样本的频率分布估计总体分布1通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征2在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用_表示，各小长方形的面积总和等于_第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3连接频率分布直方图中各小长方形上
3、端的中点，就得到频率分布折线图随着样本容量的增加，作图时所分的_增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为_，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比4当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）答案2.频率组距 各小长方形的面积 13组数 总体密度曲线第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1判断正误(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率()(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之
4、和为 1.()答案：(1)(2)第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2(2016山东卷)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是()第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）A56B60C120D140第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：由频率分布直方图
5、可知，这 200 名学生每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，故这200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数为 2000.7140.故选 D.答案：D第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3甲、乙两个班各随机选出 15 名同学进行测验，所得成绩的茎叶图如图从图中看_班的平均成绩较高解析：结合茎叶图中成绩的情况可知，乙班平均成绩较高答案：乙第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点二 用样本的数字特征估计总体的数字特征1众数、中位数、平均数(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的
6、数据叫做这组数据的众数(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x _.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积_第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2样本方差、标准差标准差 s_.其中 xn是样本数据的第 n 项，n 是样本容量，x 是平均数标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差答案1(3)1n(x1x2xn)相等2.1nx1 x 2x2 x 2xn
7、x 2第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）4某厂 10 名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为 a，中位数为b，众数为 c，则有()AabcBbcaCcabDcba第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解 析：把 该 组 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数 a 110(10121414151516171717)14.7，中位数 b1515215，众数 c17，则 ab0.5，而前
8、 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.480.5，所以 2x x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.x 甲 x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.x 甲 x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.x 甲 x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)由茎叶图可知，茎为 8 时，甲班学生成绩对应数据只能是 80,80 x,85，因为甲班学生成绩众数是 85，所以 85 出现的次数最 多，可 知 x5.由 茎叶图 可知，乙 班学生成 绩为76,81,81,80y,91,91,96，由乙班学生成绩的中位数
9、是 83，可知 y3.所以 xy8.故选 B.第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)由 茎叶 图知 x 甲 7278798586926 82.x 乙 788688889193687.33.所以 x 甲 x 乙，又由乙的茎集中在 8，而甲较分散，即乙比甲成绩稳定故选 D.答案：(1)B(2)D第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三 样本的数字特征【例 4】(必修P79 练习第 3 题改编)将甲、乙两个篮球队 10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知()第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）A甲、
10、乙两队得分的中位数相等B甲、乙两队得分的平均数相等C甲、乙两队得分的极差相等D甲、乙两队得分的方差相等【解析】由中位数定义知，甲的中位数为3638237，乙的中位数为3441237.5，故选项 A 错误；由平均数定义得 x 甲 110(24263333363843474951)38，x 乙 110(22253233344144455153)38，故选项 B 正确；由第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）极差定义得，甲的极差为 512427，乙的极差为 532231，故选项 C 错误；由方差定义知，s2甲 110(2438)2(2638)2(5138)279，s2乙 1
11、10(2238)2(2538)2(5338)299，故选项 D 错误故选 B.【答案】B第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)对于一组数据 xi(i1,2,3，n)，如果将它们改变为 xiC(i1,2,3，n)，其中 C0，则下列结论正确的是()A平均数与方差均不变B平均数变，方差保持不变C平均数不变，方差变D平均数与方差均发生变化
12、第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场作的 9 个分数的茎叶图后来有1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为()A.1169B.367C36D.6 77第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)依题意，记原数据的平均数为 x，方差为 s2，则新数据的平均数为x1Cx2CxnCn x C，即新数据的平均数改变；新数据的方差为1n(x1C)(x C)2(x2C)(xC)2(xnC)(xC)2s2，即新数据
13、的方差不变第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)根据茎叶图，去掉 1 个最低分 87,1 个最高分 99，则178794909190(90 x)9191，所以 x4.所以 s217(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2367.答案：(1)B(2)B第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致
14、通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作3若取值 x1，x2，xn 的频率分别为 p1，p2，pn，则其平均值为 x1p1x2p2xnpn；若 x1，x2，xn 的平均数为 x，方差为 s2，则 ax1b，ax2b，axnb 的平均数为 a xb，方差为 a2s2.第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数
15、学（文）温示提馨请 做：课时作业 60（点击进入）第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）频率分布直方图易误点梳理利用频率分布直方图估计总体的基本数字特征，简单地说，就是能“制图”，会“用图”，而我们在应用中产生的错误也主要发生在这两个过程中第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）错误一、制图分组不对，频数统计错误【例 1】某校在开学之初，以班级为单位，对学生自行购买保险的情况进行了抽样统计，得到了如下 20 个班级购买保险人数情况：12,9,5,11,10,22,28,6,30,14,15,12,16,26,18,27,22,14,12,5试作
16、出该样本的一个频率分布直方图【错解】这组数据的极差为 30525，将组距定为 5，组数定为 5，则可将 20 个数据分为5,10，10,15，15,20，20,25，25,30这 5 组，得到每组的频数分别为 5,8,3,2,4.(剩余解答略)第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【正解】在上述解答中，各小组频数之和为 22，大于样本容量，显然是错误的原因是分组区间全是双闭区间，则数据“10”在第一组和第二组均被计入频数，数据“15”也是如此在分组时，应将 20 个数据分为5,10)，10,15)，15,20)，20,25)，25,30这 5 组，得到每组的频数分别为
17、 4,7,3,2,4.(剩余解答略)第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【易错总结】分组时，每组所在区间一般是选择“左闭右开”，而不是“双闭”或“双开”，防止某些数据漏选或被多次计入不同小组，从而导致频数统计失误规避这种失误，可以检查各组频数之和是否等于样本容量第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）错误二、用图将频率分布直方图的纵坐标“频率组距”误认为是“频率”【例 2】某校高一年级有 400 名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段：40,50)，50,60)，90,100后得到如图的频
18、率分布直方图求该校高一年级期中考试数学成绩不低于 80 分的人数第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【错解】根据频率分布直方图知，成绩不低于 80 分的频率为 0.0250.010.035.该校高一年级期中考试数学成绩不低于 80 分的人数为 4000.03514.第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【正解】根据频率分布直方图知，成绩不低于 80 分的频率为(0.0250.01)100.35.该校高一年级期中考试数学成绩不低于 80 分的人数为 4000.35140.第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【例 3
19、】对某校七年级 100 名学生每周的零用钱(单位：元)进行统计，得到频率分布直方图如图所示，其中第 3 小组的频率为0.34，第 1,2,4,5 小组的频率形成了公差为 0.03 的等差数列，求图中a 的值第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【错解】由于各小组的频率之和为 1，且第 3 小组频率为0.34，则第 1,2,4,5 小组频率之和为 0.66.这 4 个小组的频率形成了公差为 0.03 的等差数列，设首项为 a1，则由等差数列前 4 项之和为 0.66，可得 a10.12，则第 2 小组的频率为 0.15，故 a0.15.【正解】第 2 小组频率的计算过程完全正确，第 2 小组的频率等于 0.15，但并不意味着 a0.15.因为第 2 小组的矩形的面积才是第 2 小组的频率，故矩形的高为0.155 0.03，即 a0.03.第九章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【易错总结】频率分布直方图中，关键要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率最高矩形的中点是众数，将直方图的面积一分为二的垂直横轴的直线所对应的数值是中位数总之，我们要明确对频率分布直方图的绘制及结构认识事实上频率分布直方图中的每个小矩形的面积表示该组的频率，纵轴表示“频率组距”
