1、2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由题意知,=(3,3),=(2,2),所以.又因为|,所以四边形ABCD为梯形.答案:A2.已知直角梯形ABCD中,ABAD,AB=2,DC=1,ABDC,则当ACBC时,AD=()A.1B.C.D.2解析:建立如图的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).ACBC,.=-1+a2=0,a=1(负值舍去).答案:A3.在ABC中,C=
2、90,且CA=CB=3,点M满足=2,则=()A.18B.3C.15D.12解析:如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x,y),则=(x,y-3),=(x-3,y),=2,M(6,-3),=(6,-3)(3,0)=18.答案:A4.(2016江西吉安一中期中)已知点O为平面上的定点,A,B,C是平面上不共线的三点,若()(-2)=0,则ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形B.以BC为底边的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形解析:设BC的中点为D,()(-2)=0,(2-2)=0,2=0,故ABC的BC边上的中线也是高线.故ABC是以
3、BC为底边的等腰三角形.答案:B5.(2016山东临沂期中联考)设四边形ABCD为平行四边形,|=3,|=4,若点M,N满足=3=2,则=()A.-1B.0C.1D.2解析:如图,=-=-=-=-.32-42=0.答案:B6.导学号08720074(2016河南南阳期中)已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.-B.C.-D.解析:因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以|=|=|=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)()=-(3+4-3-4)=-.答案:A7.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4
4、),=(3,6),则四边形ABCD的面积是.解析:=(3,6)=,四边形ABCD为平行四边形.又=(4,-2)(3,6)=0,四边形ABCD为矩形.|=2,|=3,S=|=23=30.答案:308.在ABC中,C=,AC=1,BC=2,则f()=|2+(1-)|的最小值是.解析:以C为原点,CA,CB所在直线分别为y轴,x轴建立平面直角坐标系,所以=(0,1),=(2,0),即2+(1-)=(0,2)+(2-2,0)=(2-2,2),所以f()=2,故f()的最小值为,在=时取得.答案:9.已知ABC中,A=60,AB=1,AC=3,则cosACB=.解析:设a=,b=,则cosACB=.答案
5、:10.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n的值为.解析:)=.M,O,N三点共线,=-,m+n=2.答案:211.在RtABC中,ABAC,用向量法证明:AB2+AC2=BC2.证明:如图,由已知可得.两边平方,得-2.ABAC,.=0,即AB2+AC2=BC2.12.导学号08720075已知ABC是等腰直角三角形,B=90,D是BC边的中点,BEAD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:ADB=FDC.证明:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).设=,则=(0,2)+(2,-2)=(2,2-2),又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2+2(2-2)=0,所以=.所以,所以,又=(1,0),所以cos ADB=,cos FDC=,又ADB,FDC(0,),所以ADB=FDC.
