1、刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为图1 (1)证明：中截面是梯形； (2)在ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明. 笔者关心的是：该题中的即是怎么来的呢
2、？这由下面推导的羨除体积公式立得.题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且ac，bd，两底面间的距离为h. (1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角正切值； (2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图2题3 (2002年高考北京卷理科第1
3、8题)如图3，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且ac，bd，两底面间的距离为h. (1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小； (2)证明：EF/面ABCD (3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图3笔者关心的是：高考题2,3中的（S上底面+4S中
4、截面+S下底面）即是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得.九章算术商功篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图4所示中的五面体，其中，底面是平行四边形.设，直线之间的距离是，直线与平面之间的距离是，则其体积.图4证明 如图5所示.设点在面上的射影分别是点.图5我们把平面分成三块区域：区域I指该平面位于直线左侧的部分(不包括直线)，区域II指该平面夹在直线之间的部分(包括直线这两条直线)，区域III指该平面位于直线右侧的部分(不包括直线).应分六种情形来证明：(1)点均位于区域I；(2)点位于区域I，点位于区域II
5、；(3)点位于区域I，点位于区域III；(4)点均位于区域II；(5)点位于区域II，点位于区域III；(6)点均位于区域III.下面只对情形(5)予以证明：过点作于，交于；过点作于，交于，得，所以证毕！2.羨除羨除是图6所示中的五面体，其中，底面是梯形.设，直线之间的距离是，直线与平面之间的距离是，则其体积.图6证明 用补形法可证.图7如图7所示，延长至，使，得刍甍，由刍甍的体积公式，得注 羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形时(即图4所示中的时的情形)，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图8所示中的六面体，其中
6、面面，底面、底面均是平行四边形.设，直线之间的距离是，之间的距离是，面之间的距离是，则其体积.图8证明 如图9所示，可得面与平行平面的交线平行,所以.连结.图9由刍甍的体积公式，得注 刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图4所示中的时的情形)，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形. 4.楔形四棱台楔形四棱台是图10所示中的六面体，其中面面，底面、底面均是梯形.设，面之间的距离是，之间的距离是，面之间的距离是，则其体积. 图10 图11证明 如图11所示，可得.连结.由羨除的体积公式，得注 楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式
7、推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段时(即图4中的时的情形)，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.题4 (1999年高考全国卷文科、理科第10题)如图12所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )A. B.5 C.6 D.图12解 D.由刍甍的体积公式可得.题5 (2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第9题)如图13，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为3的
8、正方形，.若该多面体的体积为，则EF与AC的距离为 .图13解 2.设直线EF与平面AC的距离为H，由刍甍的体积公式可得进而可得：异面直线的距离为.题6 (2005年高考全国卷I理科第4题即文科第5题)如图14，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB，EF=2，则该多面体的体积为( )A. B. C. D.图14解 A.设棱的中点分别是，在等腰梯形EFTS中可得，可求得该等腰梯形的高即直线EF与平面ABCD的距离.所以由刍甍的体积公式可得多面体ABCDEF的体积为.题7 (1983年美国邀请赛题)图15中的多面体的底面是边长为的正方形，上面的棱平行于底面，其长为，其余棱长也都为，若，求这个多面体的体积.图15解 288.由刍甍的体积公式可得(先算得).在该题中，当时就是高考题2.
