1、2.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划(旧课标)专题检测1.(2020四川成都摸底测试,4)若实数x,y满足约束条件x+2y-20,x-10,y0,则z=x-2y的最小值为()A.0B.2C.4D.6答案A解法一:画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由z=x-2y得y=12x-12z,其表示斜率为12的动直线.由x=1,x+2y-2=0得A1,12,由图可知,当动直线y=12x-12z经过点A1,12时,z取得最小值,即zmin=1-212=0.故选A.解法二:由x+2y-2=0,x-1=0得x=1,y=12,此时z=0;由x+2y-2=0,y=0得x=2,y=0,此时z=2;
2、由x-1=0,y=0得x=1,y=0,此时z=1.综上所述,z的最小值为0,故选A.2.(2019黑龙江哈师大附中二模,5)已知实数x,y满足约束条件x-y0,x+y-40,y1,则z=2-2x+y的最大值为()A.132B.14C.12D.2答案C由实数x,y满足的约束条件x-y0,x+y-40,y1作出可行域如图中阴影部分所示,设u=-2x+y,则当u=-2x+y取得最大值时,z也取得最大值.联立x-y=0,y=1,解得x=1,y=1,故A的坐标为(1,1).由u=-2x+y得y=2x+u.由图可知,当直线y=2x+u过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时zmax=2-2+1=12.故选C
3、.3.(2019陕西三模,9)若实数x,y满足不等式组x-y+20,x+y-40,2x-y-20,则z=|3x+y|的最大值为()A.36B.18C.24D.12答案B解法一:作出不等式组x-y+20,x+y-40,2x-y-20表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为在平面区域内x0,y0,所以z=|3x+y|=3x+y,即y=-3x+z.由图象可知,当直线过点B时,z取得最大值.由2x-y-2=0,x-y+2=0解得x=4,y=6,故B的坐标为(4,6),此时z=|3x+y|=|34+6|=18.所以zmax=18.故选B.解法二:作出可行域同解法一,z=|3x+y|1010表示可行域内动
4、点P(x,y)到直线3x+y=0的距离的10倍.由图可知点B(4,6)到直线3x+y=0的距离最大,所以zmax=|34+6|=18.4.(2019宁夏银川一中二模,7)如果点P(x,y)满足2x-y+20,x-2y+10,x+y-20,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,则|PQ|的取值范围是()A.5-1,10-1B.5-1,10+1C.10-1,5D.5-1,5答案D曲线x2+(y+2)2=1对应的圆心为M(0,-2),半径为r=1,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,结合图象可知,当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|=1+4-1=5-1.当P位于点(0,
5、2)时,|PQ|取得最大值,最大值为2+3=5.综上,|PQ|的取值范围是5-1,5,故选D.56.(2018广东广州3月测试,8)若x,y满足约束条件x-y+20,2y-10,x-10,则z=x2+2x+y2的最小值为()A.12B.14C.-12D.-34答案D画出约束条件对应的平面区域,如图中阴影部分所示,z=x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1,其几何意义是平面区域内的点(x,y)到定点(-1,0)的距离的平方再减去1,观察图形可得,平面区域内的点与定点(-1,0)的距离的最小值为12,故z=x2+2x+y2的最小值为14-1=-34,选D.解题技巧解决非线性规划问题要注意三点:第
6、一,明确可行域是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线;第二,确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率,还是求点到直线的距离;第三,结合图形确定最优解.6.(2020河南郑州一中、河北衡水中学等名校10月联考,8)若实数x,y满足不等式组x+y-10,x-y+10,xa(a0),且目标函数z=ax-2y的最大值为6,则实数a的值是()A.4B.1或3C.2D.2或4答案C本题考查含参数的简单的线性规划问题.作出可行域,如图所示,目标函数可化为y=a2x-z2(a0),由图可知当直线y=a2x-z2经过点A时,z取得最大值,由x=a,x+y-1=0得A(a,1-a
7、),所以zmax=a2-2(1-a)=6,解得a=2或a=-4(舍去).方法点拨解决此类问题的方法:构建模型;判断二元一次不等式组表示的平面区域;掌握求线性目标函数最值的一般步骤:一画、二移、三求.7.(2019安徽六安一中模拟,5)已知实数x,y满足x-2y+10,|x|-y-10,则z=2x+y+2x的取值范围为()A.0,103B.(-,2103,+C.2,103D.(-,0103,+答案D原不等式组可以等价转化为x-2y+10,x0,x-y-10或x-2y+10,x0,x+y+10,画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,其中点A(-1,0),点B(3,2),而z=2x+y+
8、2x=2+y+2x的几何意义为区域内的点(x,y)与点M(0,-2)连线的斜率k再加上2,结合图形可知k43或k-2,因此z43+2=103或z-2+2=0.即z的取值范围为(-,0103,+,故选D.解题关键正确画出不等式组表示的平面区域是求解本题的基础,而正确处理绝对值问题是画图的关键;明确目标函数的几何意义,确定最优解是解决此类问题的核心.8.(2019湖南炎德英才大联考(三),11)已知由不等式组x0,y0,y-kx2,y-x-40确定的平面区域的面积为7,定点M的坐标为(1,-2),若N,O为坐标原点,则OMON的最小值是()A.-8B.-7C.-6D.-4答案B画出不等式组所表示的
9、平面区域,如图中阴影部分所示.由y=kx+2,y=x+4得C2k-1,4k-2k-1,由图可知,SAOD=1244=8,而直线y=kx+2恒过点B(0,2),且(0,0)恒满足y-kx2,当k=0时,y2,此时平面区域的面积为6,60时,平面区域的面积小于6,不符合题意,由此可得k12,故选A.10.(2018山东栖霞一中4月模拟,8)已知实数x,y满足约束条件y0,y-x+10,y-2x+40.若目标函数z=y-ax(a0)取得最大值时的最优解有无数个,则a的值为()A.2B.1C.1或2D.-1答案B画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示(含边界).由z=y-ax(a0)得y=ax+
10、z(a0).因为a0,所以要使z=y-ax取得最大值时的最优解有无数个,必有a0.当直线y=ax+z与直线AC重合,即a=1时,直线y=ax+z在y轴上的截距最大,此时z取得最大值,且最优解有无数个,符合条件;当直线y=ax+z与直线BC重合时,直线y=ax+z在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,不符合条件.故a=1,选B.11.(2019浙江宁波北仑中学一模,9)若x,y满足约束条件|x+2y|2,|2y-3x|6,则(x+1)y的取值范围为()A.-3,0B.-3,94C.0,98D.-3,98答案D由题意作出可行域如图所示,易得A-1,32,B(-2,0),C1,-32,D(2,0),
11、令z=(x+1)y,则当x=-1时,z=0;当x-1时,y=zx+1,显然,当曲线y=zx+1与直线AD:x+2y=2相切时,z取得最大值,设切点的横坐标为t(t-1),则由y=-z(x+1)2,得zt+1=2-t2,-z(t+1)2=-12,解得t=12,z=98,故zmax=98.如图,当曲线y=zx+1过点C1,-32时,z取得最小值,zmin=(1+1)-32=-3,综上,(x+1)y的取值范围是-3,98,故选D.12.(2020河南安阳一模,13)若x,y满足约束条件2x-y0,x+y1,y+10,则z=y2x+1的最大值为.答案25解析本题考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.不等
12、式组表示的可行域如图中阴影部分所示,z=y2x+1=12yx+12,yx+12表示可行域内的点(x,y)与点-12,0连线的斜率,由图可知,yx+12的最大值即为点-12,0与点A的连线的斜率,由2x-y=0,x+y=1得点A的坐标为13,23,所以zmax=23213+1=25.思路分析画出可行域;确定z=y2x+1的几何意义;由数形结合确定最优解位置;求出最大值.13.(2019浙江台州期末,13)已知x,y满足条件x-y0,x+y-40,x-10,则z=2x+y的最大值是,x2+y2的最小值是.答案6;2解析画出可行域如图所示,当y=-2x+z过点A(2,2)时,zmax=6;易知x2+
13、y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离,(x2+y2)min=12+12=2.14.(2020安徽芜湖第一中学9月月考,13)已知正数x,y满足2x-y0,x-3y+50,则z=4-x12y的最小值为.答案116解析作出不等式组2x-y0,x-3y+50,x0,y0所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(区域不含y轴).z=4-x12y=122x12y=122x+y.令z=2x+y,作出基本直线l0:2x+y=0,平移l0知,直线过点A(1,2)时,z取最大值4,此时z取得最小值,zmin=124=116.技巧点拨目标函数的最优解一般在可行域的顶点处取得,所以对于求线性目标函数的最值问题,可以直接求出可行域的顶点坐标,然后分别将顶点坐标代入目标函数,求出相应的值,从而可确定目标函数的最值.15.(2019重庆南开中学3月测试,14)已知定点A(2,0),点P(x,y)的坐标满足x-4y+30,3x+5y-250,x-a0,当OPOA|OA|(O为坐标原点)的最小值是2时,实数a的值是.答案2解析作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分):由题意知OP=(x,y),OA=(2,0),设z=OPOA|OA|=2x2=x,因为OPOA|OA|(O为坐标原点)的最小值是2,所以x=2,此时点P落在直线x=a上,a=2.
