1、2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考数学卷一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1不等式的解集为_ 2.已知，则_ 3.4设为等比数列的前项和，若，则的公比的取值范围是_5如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是_（结果精确到）6已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_7已知正数，满足，则的最小值为8.某长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为_.9已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_10. 从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为 11.设常数
2、，对于二项式的展开式，下列结论中所有正确命题序号的_若，则各项系数随着项数增加而减小；若各项系数随着项数增加而增大，则;若，则第7项的系数最大；若，则所有奇数项系数和为239.12. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P. 现有三组函数：，其中具有性质P的是_二. 填空题（本大题每题5分，满分20分）13.下列说法中正确的是（A）； （B）若、非零向量且，则； （C）若且，则；（D）若，则有且只有一个实数，使得.14.已知函数，则“”是“的值域为”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件15.为了预防某
3、种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 (毫克/立方米)与时间 (分钟)之间的函数关系为 (为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）（A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:1016众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个
4、半圆，已知直线给出以下命题：当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为,则；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点其中所有正确命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）三. 解答题（本大题满分76题）17. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为、与、.（1）若, 求的值; （2）若，求证：；18. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知函数（1）求函数的最大值及此时x的值；（2）在中，a
5、，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对定义域中的任意的x都有，若，求的最大值19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距海里的，两个观测站，观测范围是到，两观测站距离之和不超过海里的区域.（1）、以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.20. （本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小
6、题6分，第（3）小题6分）已知. （1）当时，讨论函数的奇偶性；（2）当，时，的最大值为，求的零点；（3）当时，对于任意的，总有，试求的取值范围.21. （本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）对于数列，定义 设的前项和为.（1）设，写出；（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；（3）已知首项为0，项数为的数列满足：对任意且，有；.求所有满足条件的数列的个数.2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考数学卷 解析一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1不等式的解集为_【答案】【解析】由得，所以不等式解集为
7、2.已知，则_ 【答案】【解析】 故答案为： 3.【答案】【解析】故答案为: 4设为等比数列的前项和，若，则的公比的取值范围是_【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，解得得的公比的取值范围是 5如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是_（结果精确到）【答案】【解析】建系，设双曲线解析式为,顶点为，代入双曲线，解得水面下降5米后，即代入双曲线，解得宽度为 6已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由函数单调递增，当时，若，有，而，此时函数的值域不是；当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得则实数的取值范围为7已知正数满足，则的最小值为【答
8、案】4【解析】正数满足，所以，当且仅当时取等号，令，则，则，则的最小值为4 8.某长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为_.【答案】【解析】因为长方体的长、宽、高分别为，所以其体积为。其外接球直径为，故；所以其外接球体积为，因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为.9已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】对于双曲线，则，如图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，当且仅当、三点共线时，等号成立. 因此，的最小值为.10. 从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为 【答案】【解析】首先从这个
9、整数中任意取个不同的数分别为，取法数为，使，即使为偶数（两偶一奇数或三偶数）的取法有，所概率为11.设常数，对于二项式的展开式，下列结论中所有正确命题序号的_若，则各项系数随着项数增加而减小；若各项系数随着项数增加而增大，则;若，则第7项的系数最大；若，则所有奇数项系数和为239.【答案】【解析】二项式的展开式的通项为，对于：若，则各项系数一正一负交替出现，故不对，对于对于任意的，1，2，都成立，所以，且对任意的都成立，故正确；当，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，所以，只需比较，即可，可得，最大，即展开式中第7项的系数最大，故正确；当，则奇数项系数和为：，故正确；故选：12.
10、 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P. 现有三组函数：，其中具有性质P的是_【答案】【解析】对中分别判断方程是否有非零实数解，可得出结论.对于，则，合乎题意；对于, ，可得，即，解得 ，不合乎题意；对于, ，则 合乎题意.因此，具有性质的是.二. 填空题（本大题每题5分，满分20分）13.下列说法中正确的是（A）； （B）若、非零向量且，则； （C）若且，则；（D）若，则有且只有一个实数，使得.【答案】B【解析】由、非零向量且，两边平方可得，即，所以，故正确；由且，可得或，故错误；若且，则有且只有一个实数，使得，故错误故选：B14.已知函数，则“”是“的值域为
11、”的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：取 则成立， 此时 则 可得 充分性不成立; 必要性: 函数的最小正周期为, 因为函数在上的值域为，在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，是的值域为的必要而不充分条件. 故选：B.15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 (毫克/立方米)与时间 (分钟)之间的函数关系为 (为常数)，函数图象如
12、图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）（A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10【答案】B【解析】由图象可知，当 时，解得 ，令 ，得：，解得，所以开始喷酒药物的时间最迟是9点30分，故选：B.16众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线给出以下命题：当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为,则；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点其中所
13、有正确命题的序号是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】如图所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为 小圆面积为,所以大圆的四分之一面积为 小圆的一半面积为,对: 当时，直线 方程为,即直线为 轴， 直线截阴影部分的面积分为两部分， 所以，故正确.对：根据题意 , 半圆在第一象限的方程为 若当时，直线方程为，即，与小圆圆心 (0,1)的距离，等于小圆半径，所以直线与该半圆弧相切，如图所示， 直线与阴影区域只有一个公共点，故正确；对: 当时, 如图所示：直线与黑色阴影部分的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故错误；综上所述，正确.故选：A.三. 解答题（本大题满分76题）17.
14、 （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为、与、.（1）若, 求的值; （2）若，求证：；【解析】设正四棱柱的底面边长为，圆柱的底面半径为.则，. （1），得，又，所以. 所以，得，. （2），则， .得证. 18. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知函数（1）求函数的最大值及此时x的值；（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对定义域中的任意的x都有，若，求的最大值【解析】（1）故当，即时，最大值为 （2）
15、，则，故 根据余弦定理：即当时等号成立 ，故的最大值为 19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距海里的，两个观测站，观测范围是到，两观测站距离之和不超过海里的区域.（1）、以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.【解析】（1）依题意可知：观测区域边界曲线是以A,B为焦点的椭圆， AB北OyC
16、Dxy设椭圆方程为：，则 解得 观测区域边界曲线的方程为：. （2）设轮船在观测区域内航行的时间为小时，航线与区域边界的交点为、，直线方程：联立方程，整理得：， 解得 （小时）. 轮船大约在当日上午10时离开观测区域. 20. （本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知. （1）当时，讨论函数的奇偶性；（2）当，时，的最大值为，求的零点；（3）当时，对于任意的，总有，试求的取值范围.【解析】（1）当时，函数，函数定义域为。当时，；所以为奇函数； 当时，；所以， 所以为非奇非偶函数。（2）由知，故当时取得最大值，即，所以， 所以，所以的零点为0，或-4. （
17、3）任意的，总有，令，则命题转化为：任给，不等式， 当时，满足； 当时，有对于任意的恒成立；由得，所以， 所以要使恒成立，则有. 21. （本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）对于数列，定义 设的前项和为.（1）设，写出；（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；（3）已知首项为0，项数为的数列满足：对任意且，有；.求所有满足条件的数列的个数.解：（1）因为，根据题意可得，. （2）必要性：对，有，因此. 对任意且，有，两式作差，得，即，因此 .综上，对任意，有.充分性：若对任意，有，则，所以 .综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，”. （3）【法一】已知，即中，不妨假设中，有项，项，项则且所以项中组，且满足所以可知与固定且项中有一项为所以共有个 【法二】构造数列：，则对任意且，有，.结合（2）可知：.又，因此.设中有项为， 则=.即.因为，所以或. 若，则，与中有项为，即矛盾，不符题意.若，则.所以，当，中有一项为，其余项为时，数列满足条件.中有一项为，共种取法；其余项每项有或两种取法， 所以，满足条件的数列的个数为. 24
