1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第六节 正弦定理和余弦定理上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题上一页返回首页下一页高三一轮总复习1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理 内容asin A bsin Bcsin C2R.(R 为ABC 外接圆半径)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C上一页返回首页下一页高三一轮总复习变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin
2、A a2R，sin B b2R，sin C c2Rcos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ca；cos Ca2b2c22ab上一页返回首页下一页高三一轮总复习解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角上一页返回首页下一页高三一轮总复习2.三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示边 a 上的高)；(2)S12absin C12acsin B12bcsin A.(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径)上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考
3、辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC 中，若 AB，则必有 sin Asin B()(2)在ABC 中，若 b2c2a2，则ABC 为锐角三角形()(3)在ABC 中，若 A60，a4 3，b4 2，则 B45或 135.()(4)在ABC 中，asin Aabcsin Asin Bsin C.()上一页返回首页下一页高三一轮总复习解析(1)正确ABabsin Asin B.(2)错误由 cos Ab2c2a22bc0 知，A 为锐角，但ABC 不一定是锐角三角形(3)错误由 ba 知，BA.(4)正确利用 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，
4、可知结论正确 答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形D不能确定C 由正弦定理，得 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入得到 a2b2c2，由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2B.3C2D3D 由余弦定理得 5b242b
5、223，解得 b3 或 b13(舍去)，故选 D.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A6，a1，b 3，则 B_.【导学号：57962172】3或23 由正弦定理 asin A bsin B，代入可求得 sin B 32，故 B3或 B23.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_.【导学号：57962173】2 3 由题意及余弦定理得 cos Ab2c2a22bcc2161224c 12，解得 c2，所以 S12bcsin A1242sin 602 3.上一页返回首页
6、下一页高三一轮总复习利用正、余弦定理解三角形 在ABC 中，BAC34，AB6，AC3 2，点 D 在 BC 边上，ADBD，求 AD 的长上一页返回首页下一页高三一轮总复习解 设ABC 的内角BAC，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，由余弦定理得 a2b2c22bccosBAC(3 2)26223 26cos34 1836(36)90，所以 a3 10.6 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习又由正弦定理得 sin BbsinBACa33 10 1010，由题设知 0B4，所以 cos B 1sin 2B1 1103 1010.9 分 在ABD 中，因为 ADBD，所以ABDBAD，所
7、以ADB2B，故由正弦定理得 AD ABsin Bsin2B6sin B2sin Bcos B3cos B 10.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的 2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1(1)(2017郑州模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且(
8、bc)(sin Bsin C)(a 3c)sin A，则角 B 的大小为()A30 B45 C60 D120(2)(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A45，cos C 513，a1，则 b_.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)A(2)2113(1)由正弦定理 asin A bsin Bcsin C及(bc)(sin Bsin C)(a 3c)sin A 得(bc)(bc)(a 3c)a，即 b2c2a2 3ac，a2c2b2 3ac.又cos Ba2c2b22ac，cos B 32，B30.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)在ABC
9、 中，cos A45，cos C 513，sin A35，sin C1213，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C35 5134512136365.又 asin A bsin B，basin Bsin A 16365352113.上一页返回首页下一页高三一轮总复习判断三角形的形状 (1)(2017东北三省四市二联)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，满足 acos Abcos B，则ABC 的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)(2016安徽安庆二模)设角 A，B，C
10、是ABC 的三个内角，则“ABC”是“ABC 是钝角三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)D(2)A(1)因为 acos Abcos B，由正弦定理得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选 D.(2)由 ABC，ABC，可得 C2，故三角形 ABC 为钝角三角形，反之不成立故选 A.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间
11、的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁 2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 2sin Acos Bsin C，那么ABC 一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形B 法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，因为AB，所以 AB.法二：由正弦定理得 2acos Bc，再由余弦定理得 2aa2c
12、2b22acca2b2ab.上一页返回首页下一页高三一轮总复习与三角形面积有关的问题 (2015全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a 2，求ABC 的面积上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由题设及正弦定理可得 b22ac.2 分 又 ab，可得 b2c，a2c.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14.5 分(2)由(1)知 b22ac.7 分 因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2，故 a2c22ac，进而可得 ca 2.9 分 所以ABC 的面积为12
13、2 21.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Ac
14、os Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(AB)sin C，3 分 故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C12，所以 C3.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由已知得12absin C3 32.又 C3，所以 ab6.9 分 由已知及余弦定理得 a2b22abcos C7，故 a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5 7.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，A2B2C22中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数 2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换 3在ABC 中，ABabsin Asin B.上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解 在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：上一页返回首页下一页高三一轮总复习A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式absin A bsin Aab abab 解的个数一解两解一解一解2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（二十二）点击图标进入
