1、南洋中学高三年级数学学科三月学习能力诊断测试题（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1在复平面内，点）对应的复数为z，则_2若直线与互相垂直，则实数a的值为_3的值是_4已向量，且在上的投影为3，则向量与夹角为_5将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_6若一组数据：21，19，x，20，18的平均数为20，则该组数据的方差为_7将函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为_8在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于_
2、9，现有4名学生A，B，C，D申报清华、北大的2020年强基计划招生，每校有两人申报，则“A，B两人恰好申报同一所大学”的概率为_10已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是_11在平面直角坐标系中，点M不与原点O重合，称射线与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线所有点的“中心投影点“构成的曲线长度是_12已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是_二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分13设且，“z是纯虚数”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D即非充分又非必要条件14某高级中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生牙
3、齿健康检查，现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数16即每人抽取1人，在1到16中随机抽取1个数，如果抽到的是7，则从33到48这16个数中应抽取的数是（ ）A37 B46 C4215如图，已知点，且正方形内接于，M，N分别为边，的中点，当正方形绕圆心O旋转时，的取值范围为（ ）A B C D16设函数，则以下说法中正确的是（ ）； ；的图像存在对称轴； 的图像存在对称中心；A B C D三、解答题（本大题共5题，共76分）17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，如图，四棱锥的底是正方形，平面，点E是上的点，且（1）求证：对任意的，都有；（2）若二
4、面角的大小为，求的值18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在郊野公园的景观河的两岸，、是夹角为的两条岸边步道（长度均超过千米），为方便市民观光游览，现准备在河道拐角处的另一侧建造一个观景台P，在两条步道、上分别设立游客上下点M、N，从M、N到观景台P建造两条游船观光线路、，测得千米（1）求游客上下点M、N间的距离；（2）若，设，求两条观光线路与之和关于的表达式，并求其最大值19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为，且（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且斜率为的直线l交椭圆于M，N两点
5、，弦的重直平分线与x轴相交于点D，设弦的中点为P，试求的取值范围20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知数列的前n项和为，把满足条件（对任意的）的所有数列构成的集合记为M（1）若数列的通项为判断是否属于M，并说明理由；（2）若数列的通项为，判断是否属于M，并说明理由；（3）若数列是等差数列，且，求的取值范围21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知函数在区间上的最大值为4，最小值为1，记（1）求实数a，b的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；（3）对于定义在上的函数，设
6、用任意的将划分成n个小区间，其中，若存在一个常数，使得恒成立，则称函数为上的有界变函数，试证明函数是上的有界变差函数，并求出M的最小值高三年级数学学科三月学习能力诊断测试题（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1【答案】： 2【答案】：0或4 3【答案】： 4【答案】： 5【答案】：6【答案】：2 7【答案】： 8【答案】： 9【答案】： 10【答案】：11【答案】： 12【答案】：二、选择题（本大题共4题，毎题5分，共20分）13【答案】：A 14【答案】：D 15【答案】：C 16【答案】：B三、解答题（本大题共5
7、题，共76分）17【答案】：见解析【解析】：以D为原点，扽方向分别作x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则（1）证明：即对任意的，都有（2）为平面的一个法向量设平面的一个法向量为，则则，取，则，结合，解得18【答案】：见解析【解析】：（1）在中，由余弦定理得，所以线段的区度为3千米，即M，N间的距高为3千米（2）设，因为，所以在中，由正弦定理得所以，因此，因为，所以所以当，即时，取得最大值6即两条观光线路距高之和最大值为6千米19【答案】：见解析【解析】：（1）根据题意，设，则，又，解得椭圆C的方程为（2）根据题意，直线l的方程为，联立可得，得设，则弦的中点直线的方程为又，的取值范围是20【答案】：见解析【解析】：（1）当时，所以（2），所以，所以所以，即（3）设的公差为d，因为，所以，特别的当时，即，整理得，因为述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，于是，即，所以，即21【答案】：见解析【解析】：（1）在上单调递增，（2）依题意，于是当时，；当时，不等式对任意恒成立，等价于，解得（3）证明：依题意，在上单调递增，且对任意划分有，于是存在，使恒成立，函数是在上的有界变差函数，M的最小值是4
