1、临沂市高三教学质量检测考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设，则z的虚部是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简式子，即可得虚部。【详解】根据复数的乘法与除法运算，则 根据虚部定义，则虚部为-2。所以选D【点睛】本题考查了虚数的化简运算和基本概念，属于基础题。2.已知集合A. B. (1，2) C. D. 【答案】C【解析】【分析】解分式不等式，根据并集与交集的定义即可求解。【详解】集合解不等式得集合,，所以即所以选C【点睛】本题考查了集合交集补集的基本运算，属于基础题。
2、3.已知向量A. 一8 B. 一6 C. 6 D. 8【答案】D【解析】【分析】根据向量的加法运算，求得，再根据向量垂直的坐标关系求得k的值即可。【详解】向量则因为所以 ，即 解得k=8所以选D【点睛】本题考查了向量的加法运算，垂直的坐标关系，属于基础题。4.把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度得到函数，则下列说法正确的是A. 在上单调递增 B. 的图象关于对称C. 的最小正周期为 D. 的图象关于y轴对称【答案】A【解析】【分析】根据函数图像伸缩平移变换，可得函数，再根据性质即可判断出选项。【详解】函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的可得再将图象
3、向右平移个单位长度得到函数，则=周期为T=对称中心为kZ对称轴为x=kZ单调递增区间为kZ所以选A【点睛】本题考查了三角函数平移变化，对称轴、对称中心、单调区间和周期的求法，属于基础题。5.已知满足约束条件，若，则A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据不等式组，画出可行域，在可行域内根据求得m的值即可。【详解】由不等式组，画出可行域如下图所示：线性目标函数，化为 画出目标函数可知，当在A点时取得z取得最大值因为A（2，-2+m）代入目标函数可得解得m=3所以选B【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题。6.赵爽是三国时代的数学家、天
4、文学家，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)如图，设AB：BC=1：3，若向弦图内随机抛掷5000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为A. 134 B. 67 C. 200 D. 250【答案】C【解析】【分析】根据题意，设AB=x，用x表示出小正方形的面积和大正方形的面积，即可判断出落在阴影部分的米粒数量。【详解】设AB=x，则BC=3x所以AC=4x所以大正方形的边长为5x小正方形与大正方形的面积比为 所以向图内随机抛掷5000颗米粒，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为5000=20
5、0所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题。7.给出下列四个命题：命题p：；的值为0；若为偶函数，则曲线处的切线方程是已知随机变量则其中真命题的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定形式可判断；根据微积分基本定理可求得；由导数的几何意义及直线方程可求得；根据正态分布可判定，进而得到真命题的个数。【详解】由全称命题的否定形式可判断命题p：为假命题；由微积分基本定理， =4，所以为假命题若为偶函数，则a=0；所以，则2，所以k=2，则切线方程为y-2=2(x-1)，化简得，所以为真命题已知随机变量则 ，所以为真命题综上，共有2个真命
6、题，所以选B【点睛】本题考查了全称命题的否定形式，导数与微积分基本定理的应用，正态分布的应用，综合性较强，属于中档题。8.执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 1 B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】根据流程图，依次代入计算即可求得最后的输出值。【详解】S=0,k=1S=1,k=2S=,k=3S=,k=4S=,k=5S=,k=6S=,k=7此时，输出S=1所以选A【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用，属于基础题。9.在中，角A，B，C所对的边分别为 A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将 结合正弦定理化简，求得B，再由余弦定理即可求得b。【详解】因为 ，展
7、开得 ，由正弦定理化简得 ，整理得 即，而三角形中0B，所以由余弦定理可得 ，代入解得所以选C【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题。10.某几何体的三视图如图所示(俯视图中的虚线为半圆)，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体为四棱锥，中间挖去一个半圆锥，画出空间结构体，结合图中数据即可计算该几何体的体积。【详解】由三视图知该几何体为四棱锥，中间挖去一个半圆锥，其空间结构体如图所示；所以该几何体的体积为 所以选C【点睛】本题考查了立体几何中三视图的应用，画出空间解构体是解决此类问题的关键，属于中档题。11.函数
8、上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数的导函数，再根据函数f（x）在（1，3）上不单调，得g（1）g（3）0且0，从而可求a的取值范围。【详解】所以 令因为函数上不单调即在上由实数根a=0时，显然不成立，a0时，只需 ，解得或 即a它的充分不必要条件即为一个子集所以选A【点睛】本题考查了导数的应用，函数的单调性与充分必要条件的综合，属于中档题。12.是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】根
9、据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率。【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点所以（-c，0），（c，0）因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）则 解得所以为（）因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得化简整理得 ，所以 所以选B【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知_【答案】【解析】【分析】根据
10、降幂公式，化简；将两边平方，化简即可求得，代入式中即可求值。【详解】因为两边同时平方得即由降幂公式可知【点睛】本题考查了降幂公式与同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基础题。14.展开式中的系数为_【答案】【解析】【分析】根据乘法分配律，化简，再由二项式定理展开，即可求得的系数。【详解】由题意可得的项的和为 所以展开式中的系数为【点睛】本题考查了二项展开式中某项系数的求法，注意分解复杂式子的方法，属于基础题。15.已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是_.【答案】2【解析】【分析】由已知
11、条件可知，AB的中点为P，所以使用点差法求得直线AB的斜率与中点的关系，利用OP的斜率为即可求得a的值。【详解】椭圆，所以焦点在x轴上因为过左焦点作的直线斜率为2， P是AB的中点，设，将A、B坐标代入椭圆方程，可得 ，两式相减，化简得，即进一步化简得，代入解得a=2【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，点差法在解决弦中点问题的应用，属于中档题。16.在所在平面上一点，且满足，则的值为_【答案】【解析】【分析】由可知O为三角形ABC的外心，根据向量数量积可得的值，代入可的m、n的方程组，即可求得m、n的值，进而求得的值。【详解】因为可知O为三角形ABC的外心所以而，且即化简得解得所以【点睛】
12、本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生要根据要求作答。17.设为数列的前n项和，已知，对任意，都有(1)求数列的通项公式；(2)令求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1) 利用递推关系式，两式作差，然后利用累乘法求出数列的通项公式(2) 利用（1）的结论，结合裂项法求出数列的和即可。【详解】(1)已知a1=3，对任意nN*，都有2Sn-an=nan，当n2时，2Sn-1-an-1=（n-1）an-1，
13、-得 化简整理得 所以左右两边分别相乘，可得，已知所以(2) 所以 【点睛】本题考查了利用累乘法求数列的通项公式，裂项法在数列求和中的应用，属于基础题。18.如图，平面ABCD平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=1，F为CE上的点，且BF平面ACE(1)求证：AE平面BCE；(2)线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 推导出BFAE，BCAB，从而CB平面ABE，进而CBAE，由此能证明AE平面BCE。(2) 推导出AEBE，以A为原点，建立空间直
14、角坐标系A-xyz，利用向量法推导出线段AD上存在一点M，当时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为。【详解】(1)BF平面ACE，AE平面ACEBFAE四边形ABCD是正方形BCAB平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=ABCB平面ABEAE平面ABECBAEBFBC=BAE平面BCE(2) 线段AD上存在一点M，当时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为。证明：AE平面BCE，BE平面BCEAEBE，在RtAEB中，AB=2，AE=1，ABE=30，BAE=60，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设AM=h，则0h2，AE=1，BAE=60，M（0，0，h
15、），B（0，2，0），C（0，2，2）所以 ，设平面MCE的一个法向量=（x，y，z）则，令 ，解得 平面ABE的一个法向量=（0，0，1）由题意可知 解得 所以当时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为。【点睛】本题考查线面垂直的证明二面角的余弦值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题。19.已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，OFP的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交C于A，B两点，M是AB的中点，若，求点M到y轴的距离的最小值，并求此时l的方程【答案】（1）；（2）最小值
16、为5，直线方程为【解析】【分析】（1）先求出OFP的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出p的值，从而得出抛物线C的方程；（2）设直线的方程为y=kx+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），设点M（x0，y0），将直线的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，并计算出|AB|的表达式，根据条件|AB|=12得出k与b所满足的关系式，并求出点M的坐标，结合关系式并利用基本不等式可求出点M到y轴距离的最小值，利用等号成立的条件得出k与b的值，从而求出直线l的方程；【详解】（1）因为OFP的外接圆与抛物线C的准线相切所以OFP的外接圆圆心到准线的距离等于圆的半径圆周长为3，所以，圆的半径为
17、又因为圆心在OF的垂直平分线上 所以，解得 所以抛物线方程为 （2）当l的斜率不存在时因为|AB|=12，所以4x=62，得x=9，所以点M到y轴的距离为9，此时，直线l的方程为x=9当l的斜率存在且k0时，设l的方程为y=kx+b，设A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，化简得 所以 由韦达定理可得 所以 即又因为 当且仅当时取等号，此时解得 代入中，得所以直线l的方程为或即直线方程为【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及方程的求解，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合问题中的应用，属于难题。20.随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国
18、快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名某快递公司收取费的标准是：不超过1kg的包裹收费8元；超过1kg的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收4元该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：表1：公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：表2：(1)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100299之间的概率；(2)根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：根据以上统计数据
19、，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人?【答案】(1) (2) 12 应裁减1人【解析】【分析】(1)根据独立重复时间概率计算公式，可得未来3天内恰有1天揽件数在100299之间的概率。(2) 求出收件费用与收件质量的函数关系式，再由平均数定义即可求得平均收件费用。根据收件数量与收件单价，可分别计算出裁减人员前后的利润，比较即可判断出是否需
20、要裁减人员。【详解】(1) 将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100299之间的概率为独立重复事件样本中包裹件数在100299之间的天数为30，频率为 所以 (2) 设收件费用为y，收件质量为x，则收件费用与收件质量的关系式为y=8+4（x-1）=4x+4所以每件包裹收取快递费的平均值为 根据题意及，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500实际揽件数（取中值）50150250350450频率0.10.20.50.10.1EY500.1+1500
21、.2+2500.5+3500.1+4500.1=240所以公司每日利润的期望值为元若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500实际揽件数（取中值）50150250350400频率0.10.20.50.10.1EY500.1+1500.2+2500.5+3500.1+4000.1=235所以公司每日利润的期望值为元因为5600时，不合题意（iii）当b0时， ，则 ，此时 令 ，此时为单调递减函数1) 当b-2时，所以对于则在上单调递减，所以即不等式恒成立2) 当-2b0时，且为上的单调递减函数所以有唯一零
22、点 使得且 时所以当时所以在上单调递增则时，即不成立综上所述，b的取值范围为【点睛】本题考查了导数中含参问题的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值等，是高考的重点和难点，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足，点B的轨迹为(1)求，的极坐标方程；(2)设点C的极坐标为(2，0)，求ABC面积的最小值【答案】（1）的极坐标方程为=2sin；的极坐标方程为sin=3。（2）ABC面积的最小值为1。【解析】【分析】(1)根据公式，把参数方程
23、、直角坐标方程和极坐标方程之间进行相互转换。(2) 利用（1）的结论，结合三角形的面积公式、三角函数的值域即可求出结果。【详解】(1) 曲线的参数方程为(为参数)转换为直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1展开后得x2+y 2-2y=0根据2= x2+y 2， y=sin代入化简得的极坐标方程为=2sin设点B的极坐标方程为（，），点A的极坐标为（0，0），则|OB|=，|OA|=0，由于满足|OA|OB|=6，则，整理得的极坐标方程为sin=3(2) 点C的极坐标为(2，0)，则OC=3 所以当时取得最小值为1【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转换，三角形面积公式的综合应用，考查对知识的运用和计算能力，属于中档题。23.已知函数(1)求的最小值m；(2)若正实数满足【答案】(1) 4 (2)见解析。【解析】【分析】(1) 对x分类讨论去绝对值，画出函数图像即可求得最小值m。(2)根据柯西不等式即可证明。【详解】(1) 当x1时，当1x5时，当5x时，画出函数图像如下图所示，由图可知，最小值m=4(2)证明：a0，b0且满足得证【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题。
