1、2.3数学归纳法1用数学归纳法证明1N+,n1)时,第一步应验证不等式()A.1C.1解析：nN+,n1,n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项答案：B2利用数学归纳法证明不等式12,nN+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项解析：12k项.答案：D3已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.6解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036,f(1),f(2),f(3)都能被36整除,猜想f(n)能被36整除.证明:
2、当n=1,2时,由上得证,设当n=k(k2)时,f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k=(6k+27)3k-(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k-2(k2)f(k+1)能被36整除.f(1)不能被大于36的数整除,所求的最大的m的值等于36.答案：C4设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)k2成立时总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k
3、2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立解析：由数学归纳法原理可得,若f(3)9成立,则当k4时,均有f(k)k2成立,故A不正确.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立,故B不正确.若f(7)49成立,则当k6时,均有f(k)42成立,则当k4时,均有f(k)k2成立.答案：D5观察下列不等式:1解析：由3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测第n个不等式为1答案：16用数学归纳法证明“当nN+时,求证:1+2+22+23+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为,从n=k到n=k+1
4、时需增添的项是.解析：当n=1时,原式应加到251-1=24,故原式为1+2+22+23+24.从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+25(k+1)-1.答案：1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 7用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中,当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.解析：当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=8134k+2+2552k+1=25(34k+2+52k+1)+5634k+2.答案：25(34k+2+52k+1)+5634k+28是否存在常数a,b使等式12+
5、22+32+n2+(n-1)2+22+12=an(bn2+1)对于一切nN+都成立?若存在,求出a,b,并证明;若不存在,说明理由.分析：令n=1,2解方程组求得a,b的值,再用数学归纳法证明a,b的值对一切nN+等式都成立.解假设存在a,b使12+22+32+n2+(n-1)2+22+12=an(bn2+1)对于一切nN+都成立,令n=1,2,下面用数学归纳法证明anN+都成立.(1)当n=1时,已证.(2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即12+22+32+k2+(k-1)2+22+12则当n=k+1时,12+22+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12故当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2),知存在anN+都成立. 9已知在数列an中,a1=2,an+1=(1)求an的通项公式;(2)若在数列bn中,b1=2,bn+1a4n-3,n=1,2,3,.(1)解由题设an+1=所以an+1所以数列an2,则an即an的通项公式为an.(2)证明用数学归纳法证明.当n=1时,因所a1,结论成立.假设当n=k(k=1,2,)时,结论成立,a4k-3,也即0bka4k-3则当n=k+1时,bk+1又因所以bk+1(bk也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据和,a4n-3,n=1,2,3,.
