1、2.1.2 椭圆的几何性质(一)学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形(重点、难点)自 主 预 习探 新 知椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 对称性对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心(0,0)范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴|B1B2|2b，长轴|A1A2|2a
2、焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c离心率eca(0e1)思考 1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？提示 最大距离：ac；最小距离：ac.思考 2：椭圆方程x2a2y2b21(ab0)中 a，b，c 的几何意义是什么？提示 在方程x2a2y2b21(ab0)中，a，b，c 的几何意义如图所示即 a，b，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形基础自测1思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆()(2)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相等()(3)已知椭圆 x2k8y291
3、的离心率 e12，则 k 的值为 4 或54.()提示(1)离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆(2)(3)由 e21b2a2；又因椭圆的焦点在 x 轴或在 y 轴上，所以有两个值当a1 时，焦点在 x 轴上，a2k8，c2k1，又 e12，所以14k1k8，解得：k4；当 k1 时，焦点在 y 轴上，a29，c21k，又 e12，所以141k9，解得 k54.2椭圆 6x2y26 的长轴端点坐标为()A(1,0)(1,0)B(6,0)，(6,0)C(6，0)，(6，0)D(0，6)，(0，6)D x2y261 焦点在 y 轴上，长轴端点坐标为(0，6)，(0，6)3椭圆 x24y24
4、的离心率为()A.32 B34C.22 D23A x24y21，a2，b1，c a2b2 3，eca 32.合 作 探 究攻 重 难由椭圆方程求椭圆的几何性质 求椭圆 16x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标思路探究 化为标准方程，确定焦点位置及 a，b，c 的值，再研究相应的几何性质解 把已知方程化成标准方程x252y2421，可知 a5，b4，所以 c3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a10 和 2b8，离心率 eca35，两个焦点分别是 F1(3,0)和 F2(3,0)，椭圆的四个顶点是 A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，4)和 B2(0,4)规律
5、方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1求椭圆 9x2y281 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 椭圆的标准方程为x29y2811，则 a9，b3.ca2b26 2，长轴长 2a18，短轴长 2b6，焦点坐标为(0,6 2)，(0，6 2)，顶点坐标(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0)，离心率 eca2 23.由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是 10，离心率是45；(2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端
6、点的连线互相垂直，且焦距为 6.【导学号：73122104】思路探究 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数 a，b，c.解(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)由已知得 2a10，a5.eca45，c4.b2a2c225169.椭圆方程为x225y291 或x29y2251.(2)依题意可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为x218y291.规律方法 利用性质求椭圆的标准方程，通常
7、采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数.提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距.跟踪训练2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为12，焦距为 8.(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.解(1)由题意知，2c8，c4，eca4a12，a8，从而 b2a2c248，椭圆的标准方程是y264x2481.(2)由已知得a2c，ac 3，a2 3，c 3
8、.从而 b29，所求椭圆的标准方程为x212y291 或x29y2121.求椭圆的离心率探究问题1求椭圆离心率的关键是什么？提示 根据 eca，a2b2c2，可知要求 e，关键是找出 a，b，c 的等量关系2a，b，c 对椭圆形状有何影响？提示 ecaa2b2a21ba2.已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2 是正三角形，求该椭圆的离心率.【导学号：73122105】思路探究 由题设求得 A、B 点坐标，根据ABC 是正三角形得出 a，b，c 的关系，从而求出离心率解 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点坐标为 F1
9、(c,0)，F2(c,0)依题意设 A 点坐标为c，b2a，则 B 点坐标为c，b2a，所以|AB|2b2a.由ABF2 是正三角形得 2c 32 2b2a，即 3b22ac，又b2a2c2，3a2 3c22ac0，两边同除以 a2 得 3ca22ca 30，解得 eca 33.母题探究：1.(变换条件)本例中将条件“过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2 是正三角形”改为“A 为 y 轴上一点，且 AF1 的中点B 恰好在椭圆上，若AF1F2 为正三角形”如何求椭圆的离心率？解 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点坐标为 F1(c,0)，F2(c,0)
10、，设 A 点坐标为(0，y0)(y00)，则 B 点坐标为c2，y02，B 点在椭圆上，c24a2 y204b21，解得 y204b2b2c2a2，由AF1F2 为正三角形得 4b2b2c2a2 3c2，即 c48a2c24a40，两边同除以 a4 得 e48e240，解得 e 31.2(变换条件)“若ABF2 是正三角形”换成“椭圆的焦点在 x 轴上，且 A点的纵坐标等于短半轴长的23”，求椭圆的离心率解 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，F1(c,0)，F2(c,0)，由题意知 Ac，23b 在椭圆上，c2a2491，解得 e 53.规律方法 求椭圆离心率的方法直接求出 a 和 c
11、，再求 eca，也可利用 e1b2a2求解.若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成ca的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解.当 堂 达 标固 双 基1若椭圆x2a2y21(a0)的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.32 B12 C.22 D 52A 由 a2b2，b1 得 c 3，eca 32.2已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C 的方程是()【导学号：73122106】Ax23y241Bx24 y231Cx24y221Dx24y231D c1
12、，由 eca12得 a2，由 b2a2c2 得 b23.所以椭圆方程为x24y231.3椭圆x216y281 的离心率为()A.13B12C.33D 22D a216，b28，c28.从而 eca 22.4已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1，则椭圆 C 的标准方程为_x24y231 由题意知 ac3，ac1，解得 a2，c1，则 b23.又焦点在 x 轴上，椭圆 C 的标准方程为x24y231.5求椭圆 9x216y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.【导学号：73122107】解 已知方程化成标准方程为x216y291，于是 a4，b3，c 169 7，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6，离心率 eca 74，又知焦点在 x 轴上，两个焦点坐标分别是(7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3)
