1、2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第三章 圆锥曲线的方程B卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知点，动点到直线的距离为，则（ ）A点的轨迹是圆B点的轨迹曲线的离心率等于C点的轨迹方程为D的周长为定值2点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ）ABC2D53已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）ABCD4已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，且，则双曲线的离心率为（ ）AB
2、CD5已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD6已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值，则（ ）ABCD7设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD8已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
3、得0分9设椭圆1的右焦点为F，直线ym（0m）与椭圆交于A，B两点，下列结论正确为（ ）A|AF|+|BF|为定值BABF的周长的取值范围是6，12C当m时，ABF为直角三角形D当m1时，ABF的面积为10设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O： 交于，两点，若，则下列选项正确的是（ ）A曲线的离心率为B圆心到双曲线的渐近线的距离为C所在直线方程为D直线被双曲线的渐近线截得的线段长为11已知，分别为双曲线的左右焦点，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（ ）A离心率B点的横坐标为定值C若成立，则D若垂直轴于点，则12已知抛物线的焦点为，圆与
4、抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）A点的纵坐标的取值范围是B等于点到抛物线的准线的距离C圆的圆心到抛物线的准线的距离为2D周长的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知抛物线C：的焦点为F，在C上存在A.B两点满足，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线l，l与该抛物线的准线相交于点M，则点M到直线AB的距离为_.14在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_15已知椭圆：()与双曲线：(，)有相同的焦点，其中为左
5、焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线，的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为_.16如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知如图，长为，宽为的矩形，以、为焦点的椭圆恰好过两点.设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆.（1）在两个条件中任选一个条件
6、，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过椭圆右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交椭圆两点，在轴上是否存在点，使得恰为的平分线？18已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.19已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且.（1）求的离心率；（2）若的四个顶点到的准线距离之和为6，求与的标准方程.20已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.（1）求拋物线的方
7、程；（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围.21如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别40m，m，30m，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）；22已知双曲线经过点，两个焦点为，（1）求的方程；（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，
8、并求此定值一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知点，动点到直线的距离为，则（ ）A点的轨迹是圆B点的轨迹曲线的离心率等于C点的轨迹方程为D的周长为定值【答案】C【解析】解：点，动点到直线的距离为，设动点的坐标为，可得：，化简得点的轨迹方程为，所以的轨迹是椭圆，所以A错误，C正确；离心率为：，所以B不正确；的周长为定值：，所以D不正确；故选：C2点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ）ABC2D5【答案】D【解析】设点在双曲线的右支上，则，因为，所以，因为，所以是直角三角形，所以所以，即，所以
9、，解得：或（舍），所以此双曲线的离心率是，故选：D.3已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】显然，是短轴端点时，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点，若，则，又，消去整理得：，解得(舍去)或，同得，所以，即，若，则，又，消去整理得：，解得或，舍去所以，所以，即，时，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意综上，的范围是故选：D4已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD
10、【答案】D【解析】存在，使，说明为线段上的点，说明，即为直角，过且斜率为的直线与其左支交于点，说明，所以为等腰直角三角形，所以在轴上，是在上的投影，是在上的投影，分别是线段和的长度，说明,为等腰直角三角形，,双曲线的离心率为,故选：D.5已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意，令，则有，令，由双曲线定义得，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则，在中，即，解得，则，在中，即，于是得，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C6已知直线，动点在椭圆上，作交于点，作交于点.若为定值
11、，则（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示：，易知由四边形OMPN是平行四边形，所以为定值，取点时，由 ，解得 ，所以，由对称性得：，所以，取点时，由 ，解得 ，所以，由对称性得：，所以，所以 ，即，故选：C7设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设双曲线的左焦点为，设，则根据题意得，则双曲线的离心率为，令，易知在单调递增，且，则，即.故选：C.8已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）ABCD【答案】C【解析】
12、对于A选项，、，所以，到焦点距离的最小值为，最大值为，假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，所以A选项中的椭圆不存在“点”；对于B选项，、，所以，到焦点距离的最小值为，最大值为，假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，所以B选项中的椭圆不存在“点”；对于C选项，双曲线的方程为，则双曲线的两个焦点为、，若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，则，可得，即双曲线存在“点”；对于D选项，双曲线的标准方程为，则，、，所以，若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，则，解得，所以D选项中的双曲线不存在“点”.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中
13、，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9设椭圆1的右焦点为F，直线ym（0m）与椭圆交于A，B两点，下列结论正确为（ ）A|AF|+|BF|为定值BABF的周长的取值范围是6，12C当m时，ABF为直角三角形D当m1时，ABF的面积为【答案】ACD【解析】设椭圆的左焦点为，则为定值，A正确；由椭圆，可得，则，因为，所以的取值范围是，的周长为，因为为定值6的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，又，所以 是直角三角形，C正确；将与椭圆方程联立，解得，D正确.故选：ACD.10设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O： 交于，两点，若，则下列选
14、项正确的是（ ）A曲线的离心率为B圆心到双曲线的渐近线的距离为C所在直线方程为D直线被双曲线的渐近线截得的线段长为【答案】ACD【解析】依题意，以为直径的圆M：，与圆O： 联立得，故由知，垂直x轴，也是圆M的一条直径，过圆心，即，故，即，故A正确；由知，双曲线的渐近线为，圆心到双曲线的渐近线的距离为，故B错误；，垂直x轴，故所在直线方程为，故C正确；由代入双曲线的渐近线得，故截得的线段长为，故D正确.故选：ACD.11已知，分别为双曲线的左右焦点，分别为其实轴的左右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有（ ）A离心率B点的横坐标为定值C若成立，则D若垂直轴于点，则【答案】A
15、BC【解析】A. ，故有，则左右两边同除得，解得，故A对B.设圆与轴相切于点，与相切于点，与相切于点，则如图有故则有则有,又，故则，故，点的横坐标为定值，则B对.C. 若成立，设内切圆半径为 ，则有则则，故C对D. 若垂直轴于点，设则则又，故故故D错故选：ABC12已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则（ ）A点的纵坐标的取值范围是B等于点到抛物线的准线的距离C圆的圆心到抛物线的准线的距离为2D周长的取值范围是【答案】BCD【解析】圆的圆心为，半径，与轴正半轴的交点为，抛物线的焦点为，准线方程为，由，得，故点的纵坐标，故A错
16、误；由抛物线的定义可得等于点到抛物线的准线的距离，故B正确；易知圆的圆心到抛物线的准线的距离为2，故C正确；的周长为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知抛物线C：的焦点为F，在C上存在A.B两点满足，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线l，l与该抛物线的准线相交于点M，则点M到直线AB的距离为_.【答案】【解析】作出抛物线的准线l：x1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BEAC于E3，设|m，则|3m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|m，|3m，|2m因此，RtABE中，cosBAE，得BAE60所以，直线A
17、B的倾斜角AFx60，得直线AB的斜率为tan60直线AB的方程为y（x1），代入y24x，可得3x210x+30，x3或x，A在x轴上方，A，设过A的切线的斜率为k，则切线的方程为，与联立得到，即令，可得，过A的切线的方程为，令x-1，可得的坐标为，又直线AB的方程为y（x1）故点M到直线AB的距离：故答案为：14在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_【答案】【解析】解：由题意得：抛物线交点，直线l的倾斜角为60，直线l的方程为，即代入抛物线方程，得解得（舍去）所以，于是可得故答案为：1
18、5已知椭圆：()与双曲线：(，)有相同的焦点，其中为左焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线，的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为_.【答案】【解析】由是以为底边的等腰三角形，即，根据椭圆的定义可得，根据双曲线的定义可得，联立方程组，可得，所以，易知，则，所以，即，所以的取值范围是.故答案为:.16如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切，
19、如图所示:切点为，与圆柱面相交于，此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形 中， ，又因为，所以，由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，则求得，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知如图，长为，宽为的矩形，以、为焦点的椭圆恰好过两点.设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆.（1）在两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，过椭圆右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交椭圆两点，在轴上是否存在点，使得恰为的平分线？【答案】（1）（1）选选：（2）证明
20、见解析，切线方程为（2）存在点【解析】（1）选：由已知，将代入椭圆方程得： 故椭圆方程为： 选：由题设可得如下示意图，易知：为等腰三角形且，又，即，则，椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，的轨迹方程为.（2）设直线方程为 与椭圆联立得 显然 恒成立故 假设在轴上是否存在点设 由题意 即 整理得 故解得，故存在点18已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由，得.直线与直线相互垂直，则，解得.所以椭圆的方
21、程为.（2）依题意设直线，联立和椭圆的方程得：，设，则有.，令，则，同理：.所以.则，分子，所以.19已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且.（1）求的离心率；（2）若的四个顶点到的准线距离之和为6，求与的标准方程.【答案】（1）（2）：，：【解析】（1）根据题意，分别表示出与，构造齐次式，即可求解；（2）根据题意，结合椭圆与抛物线的性质，即可求解.（1）因为椭圆的右焦点为，其中，所以抛物线的方程为：，由于椭圆的方程为，将代入椭圆的方程，得，所以，因此；将当代入的方程，得，所以，由得，即，即，所以，解得或(舍去)，所以
22、的离心率为.（2）由（1）知，所以，故的准线方程为：.因为的四个顶点到的准线距离之和为6，所以，解得，.所以的标准方程为，的标准方程为.20已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.（1）求拋物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由已知得，且为的中点，所以 .所以，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：联立，解得 ，由为的中点得.不妨设，其中 .则，.所
23、以，即为定值.（3）由（2）可知直线的方程为，即 ，与抛物线联立，消 x可得，解得或（舍），所以，即 ，故点到直线的距离.设过点的抛物线的切线方程为，联立得 ，由，得，所以切线方程为，令，得 ，所以要使过点的直线与抛物线有两个交点，则有，又，所以，即，故 的面积的取值范围为.21如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别40m，m，30m，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）；【答案】，【解析】最窄处即双曲线两顶点间， 设双曲线的标准方程为：，由题意知：当（地面半径）时对应的值是，当时，的值为，解得：，双曲线的标准方程是，.22已知双曲线经过点，两个焦点为，（1）求的方程；（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值【答案】（1）（2）见解析，为定值【解析】解：解法1：（1）由题意，所以，的方程可化为因为的方程经过点，所以，解得，或（舍去）于是的方程为（2）由（1）知直线的方程为把，分别代入得：，又在上，所以,所以于是为定值 解法2：（1）由双曲线定义得所以，因为，所以，于是的方程为
