1、模块复习课第3课时复数的概念与运算课后篇巩固提升基础巩固1.若复数z=2-1+i,则()A.|z|=2B.z的实部为1C.z的虚部为-1D.z的共轭复数为1+i解析z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,因此|z|=2,z的实部为-1,虚部为-1,共轭复数为-1+i,故选C.答案C2.已知i是虚数单位,复数z满足z(1+i)=3+i,则复数z在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由z(1+i)=3+i,得z=3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=3-3i+i-i212+12=4-2i2=2-i,复数z在复平面
2、内所对应的点的坐标为(2,-1),位于第四象限.故选D.答案D3.设i是虚数单位:则2i+3i2+4i3+2 021i2 020的值为()A.1 011-1 010iB.1 010-1 010iC.1 010-1 012iD.-1 011-1 010i解析设S=2i+3i2+4i3+2021i2020,两端同乘以i,得iS=2i2+3i3+2020i2020+2021i2021,相减,得(1-i)S=2i+i2+i3+i4+i2020-2021i2021,(1-i)S=i+i+i2+i3+i4+i2020-2021i2021=i+i(1-i2020)1-i-2021i2021,可得(1-i)S
3、=i+i(1-1)1-i-2021i=i-2021i=-2020i,则S=-2020i1-i=-2020i(1+i)2=-1010i(1+i)=1010-1010i,故选B.答案B4.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于()A.112B.112iC.-112D.-112i解析设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)a+3m+i=0,所以a2+a+3m=0,2a+1=0,所以a=-12,m=112.答案A5.已知z是复数,且p:z=12+32i;q:z+1zR,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解
4、析当z=12+32i时,z+1z=12+32i+112+32i=12+32i+12-32i1=1R,但当z+1zR时,若令z=a+bi(a,bR),则a+bi+1a+bi=a+aa2+b2+b-ba2+b2i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=12+32i.故p是q的充分不必要条件.答案A6.已知复数z=a-12i4+3i(aR,i为虚数单位),若z为实数,则a=;若z为纯虚数,则a=.解析z=a-12i4+3i=(a-12i)(4-3i)25=4a-3625-48+3a25i,若z为实数,则有-48+3a25=0,解得a=-16,若z为纯虚数,则有4a-3625=0,-48+3a25
5、0,解得a=9.答案-1697.如果复数1,a+i,3+a2i(aR)成等比数列,那么a的值为.解析由题意知(a+i)2=1(3+a2i),即a2-1+2ai=3+a2i,所以a2-1=3,2a=a2,解得a=2.答案28.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是.解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1.答案19.已知复数z满足|z|=1+3i-z,求(1+i)2(3+4i)22z的值.解设z=a+bi(a,bR),|z|=1+3i-z,a2+b2-1-
6、3i+a+bi=0,即a2+b2+a-1=0,b-3=0,解得a=-4,b=3.z=-4+3i,(1+i)2(3+4i)22z=2i(-7+24i)2(-4+3i)=24+7i4-3i=3+4i.10.已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,求满足下列条件的实数m的值或取值范围.(1)复数z与复数2-12i相等;(2)复数z与复数12+16i互为共轭复数;(3)复数z在复平面内对应的点在实轴上方.解(1)根据复数相等的充要条件,得m2+5m+6=2,m2-2m-15=-12,解得m=-1.(2)根据共轭复数的定义,得m2+5m+6=12,m2-2m-15=-16,解得m=1.(
7、3)由题意,知m2-2m-150,解得m5,故实数m的取值范围为(-,-3)(5,+).能力提升1.已知i为虚数单位,则复数z=i1+i+1+ii等于()A.-12+32iB.12-32iC.32-12iD.-32+12i解析z=i1+i+1+ii=i(1-i)(1+i)(1-i)+(1+i)ii2=i+12+1-i=32-12i,故选C.答案C2.已知复数z=-3+2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q为实数)的一个根,则p+q的值为()A.22B.36C.38D.42解析因为z=-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以有2(-3+2i)2+p(-3
8、+2i)+q=0,即2(9-4-12i)-3p+2pi+q=0,得10-24i-3p+2pi+q=0,得10+q-3p+(2p-24)i=0.由复数相等得10+q-3p=0,2p-24=0,解得p=12,q=26,所以p+q=38.答案C3.已知纯虚数z满足(1+i)z=2m+i,其中i是虚数单位,则实数m的值等于.解析由(1+i)z=2m+i得z=2m+i1+i=(2m+i)(1-i)2=(2m+1)+(1-2m)i2,因为z为纯虚数,所以2m+1=0,1-2m0,故m=-12.答案-124.对于非零实数a,b,以下四个命题都成立:a+1a0;(a+b)2=a2+2ab+b2;若|a|=|b
9、|,则a=b;若a2=ab,则a=b.那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是.解析对于命题,当a=i时,a+1a=0,故命题错误;对于命题,当a=3+4i,b=3-4i,则|a|=|b|,故命题错误;命题,对于非零复数a,b仍然成立.答案5.设复数z1=(a2-4sin2)+(1+2cos )i,aR,(0,),z2在复平面内对应的点在第一象限,且z22=-3+4i.(1)求z2及|z2|;(2)若z1=z2,求与a的值.解(1)设z2=m+ni(m,nR),则z22=(m+ni)2=m2-n2+2mni=-3+4i,即m2-n2=-3,2mn=4,解得m=1,n=2,或m=-1
10、,n=-2.又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,故z2=1+2i,|z2|=5.(2)由(1)知(a2-4sin2)+(1+2cos)i=1+2i,即a2-4sin2=1,1+2cos=2,解得cos=12,因为(0,),所以=3,所以a2=1+4sin2=1+434=4,a=2.综上,=3,a=2.6.已知复数z1=2+i,2z2=z1+i(2i+1)-z1.(1)求z2;(2)若ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且u=cos A+2icos2C2,求|u+z2|的取值范围.解(1)因为z1=2+i,2z2=z1+i(2i+1)-z1,所以z2=12(2+i)+i(2i+1)-(2+
11、i)=1+ii-1=-i.(2)在ABC中,因为A,B,C成等差数列,所以B=60,A+C=120.因为u+z2=cosA+2icos2C2-i=cosA+icosC,所以|u+z2|2=cos2A+cos2C=1+cos2A2+1+cos2C2=1+12(cos2A+cos2C)=1+12(cos2A-sin2A+cos2C-sin2C)=1+12cos2A(cos2C+sin2C)+cos2C(cos2A+sin2A)-sin2A(cos2C+sin2C)-sin2C(cos2A+sin2A)=1+12(2cos2Acos2C-2sin2Asin2C)=1+(cosAcosC+sinAsinC)(cosAcosC-sinAsinC)=1+cos(A+C)cos(A-C)=1+cos120cos(A-C)=1-12cos(A-C).因为A+C=120,所以A-C=120-2C,所以A-C(-120,120),所以cos(A-C)-12,1,所以|u+z2|的取值范围为22,52.
