1、3.3 立体几何中的向量方法(二)目标定位重点难点1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题2.能用向量方法解决长度、距离问题3.体会向量方法在研究几何问题中的作用重点：用向量方法求空间中的角、距离难点：用向量方法求空间中的角、距离1利用向量求空间角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为 a，b，则 cos _0，2|cosa，b|ab|a|b|角的分类向量求法范围直线与平面所成的角 设直线 l 与平面 所成的角为，l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 sin _|an|a|n|0，2二面角设二面角 l 的平面角为，平面，的法向量为 n
2、1，n2，则|cos|_|n1n2|n1|n2|，n1，n2或 n1，n20，|cosa，n|cosn1，n2|2利用向量求空间距离|AB|BAn|n|1若平面 的一个法向量 n(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量 a(2，3,3)，则 l 与 所成角的余弦值为()A 1111 B.1111C.11011D 91333【答案】D【解析】cosa,n an|a|n|43 11，l 与 所成角的余弦值为143 112 91333.2如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是()A30 B60 C90 D120【答案】C【解析
3、】建立如图所示的空间直角坐标系，O 为 BC 中点，设三棱柱的棱长为 2a，则点 A(3a,0,0)，B(0，a,0)，B1(0，a,2a)，M(0，a，a)，AB1(3a，a,2a)，BM(0，2a，a)，AB1 BM 0，因此异面直线 AB1 与 BM 所成的角为 90.3正三棱柱 ABCA1B1C1 各棱长均为 1，M 为 CC1 的中点，则点 B1 到截面 A1BM 的距离为()A.2B 22C12D 32【答案】B【解析】设 AC 中点为 O，A1C1 中点为 O1，以 O 为原点，OB，OC，OO1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，M0，12，12，A10，12，
4、1，B32，0，0，B132，0，1，A1B32，12，1，BM 32，12，12，设平面 A1BM 的法向量为 n(x，y，z)，则 nA1B 0，nBM 0，即 32 x12yz0，32 x12y12z0.设 x2 3，则 y2，z4，故其中一个法向量 n(2 3，2,4).BB1(0,0,1)，d|BB1|cosBB1，n|BB1 n|n|2 3020414 2 22.故选 B.4已知平面 ABC 与平面 ABD 交于直线 AB，若平面 ABC的一个法向量为 m(1,1，2)，平面 ABD 的一个法向量为 n(2，0,2)，则二面角 CABD 的余弦值为_【答案】32 【解析】cosm，
5、n 202 24 6 32，则二面角 CABD 的余弦值为 32.【解题探究】用B1M与D1N的方向向量的夹角来求解.利用空间向量求两条异面直线所 【例 1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 M，N 分别是 BD 和 AD 的中点，求 B1M 与 D1N 所成角的余弦值.利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角的取值范围是，两向量的夹角的取值范围是0，所以cos|cos|.【解题探究】建立适当的直角坐标系，求线面的夹角
6、转化为求线与线的夹角利用空间向量求直线与平面所成的角【例 2】正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，C1 32 a，a2，2a，AC1 32 a，a2，2a.显然平面 ABB1A1 与 x 轴垂直，它的一个法向量为 n(1,0,0)设 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为，则 sin|cosAC1，n|AC1 n|AC1|n|32 a3a12.30，即 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 30.利用向量知识求直线与平面所成角的关键是求出平面的一个法向量，然后
7、利用夹角公式求解，注意向量夹角与线面角之间余弦值与正弦值的转化【例3】如图，四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，点E在棱PA上且PE2EA.求二面角ABED的余弦值【解题探究】建立适当的直角坐标系，求二面角的余弦值转化为求两平面法向量夹角的余弦值利用空间向量求二面角【解析】以 B 为原点，以 BC，BA，BP 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设平面EBD的一个法向量为n1(x，y，z)，因为BE(0,2,1)，BD(3,3,0)，由n1BE0，n1BD 0得2yz0，3x3y0，设 z1，所以x12，y12，即 n
8、112，12，1.又因为平面 ABE 的一个法向量为 n2(1,0,0)，所以 cosn1，n2 16 66.由图知二面角 ABED 为锐角，所以二面角 ABED 的余弦值为 66.用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是不是二面角的大小(相等或互补)，要根据图形观察得到结论.【例4】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD且GC2，求点B到平面EFG的距离【解题探究】建立适当的坐标系，点到面的距离转化为两点间距离【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，得BE(0,2,0)，GE(4,2，2)，EF(2,2,0)利用空间向量求空间距离设平面
9、 GEF 的一个法向量为 n(x，y，z)，则有 nGE 0，nEF0，即2xyz0，xy0.令 x1，则 y1，z3，n(1,1,3)点 B 到平面 GEF 的距离为 dBE n|n|0，2，01，1，3112 1111.用向量法求点到平面的距离，垂线常常不必作出来，只须设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向量4.四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F，E分别为AD，PC的中点.(1)求证：DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离.二面角与向量夹角的转化易出错【示例】如图，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB
10、边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，则二面角BACD的余弦值为_【错解】如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 D(0,0,0)，A(0,0，a)，B(a,0,0)，C(0，3a,0)，AB(a,0，a)，BC(a，3a,0)，BD(a,0,0)由题设，知BD 为平面 ACD 的一个法向量设平面 ACB 的一个法向量为 n(x，y，z)，而AB(a,0，a)，BC(a，3a,0)，则nABaxaz0，nBCax 3ay0.令 x1，得 z1，y 33，平面 ACB 的一个法向量为 n1，33，1.nBD a.cosn，BD aa1131 217
11、.二面角 BACD 的余弦值为 217.【错因分析】分清二面角的两个半平面的法向量的夹角是等于二面角，还是它的补角【正解】同错解可得 cosn，BD 217.结合图形，可知二面角 BACD 为锐角，二面角 BACD 的余弦值为 217.【警示】正确区分平面间的夹角、二面角的平面角，并准确把握它们与法向量夹角的关系是解答此类问题的前提和关键1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题2通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(夹角、距离等问题)3根据运算结果的几何意义来解释相关问题1在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O
12、 是底面 ABCD的中心，E，F 分别是 CC1，AD 的中点，那么异面直线 OE 和FD1 所成角的余弦值为()A.105B 155C45D25【答案】B【解析】以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则OE(1,1,1)，FD1(1,0,2)，cosOE，FD1 OE FD1|OE|FD1|155.故选 B.2已知边长为 2 的正方形 ABCD 的四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的表面积为 80，则 OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为(
13、)A3 1010B 1010C 1919D 3030【答案】B【解析】过 O 作 OM平面 ABCD，垂足为 M，则 M 为正方形 ABCD 的中心正方形 ABCD 的边长为 2，AC2 2，AM12AC 2.S 球 O4r280，球 O 的半径 OAr2 5.OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 cosOAMAMOA22 5 1010.故选 B设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则nDB 0，nDA1 0，即xy0，xz0.取x1，则yz1，n(1，1，1)设直线BC1与平面A1BD所成的角为，则sin|cosn，BC1|nBC1|n|BC1|101|3 2 63，所以cos
14、 33.3设P是60的二面角l内一点，PA平面于A，PB平面于B，PA4，PB2，则AB的长为()A2 3B2 5C2 7D4 2【答案】C【解析】PA，PB 18060120，AB PB PA，|AB|2(PB PA)2 PB 2 PA 22 PB PA 224222412 28.|AB|2 7.故选C.4在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点且点M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别为2,3,6，则点M到顶点P的距离是()A2B3C6D7【答案】D【解析】以P为坐标原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则M点坐标为(3,6,2)，|PM|3262227.故选D.
