1、2020-20201学年上海市位育中学高二上数学10月月考卷2020.10一. 填空题1. 计算： 2. 三阶行列式的元素4的代数余子式为 3. 已知点，则向量的单位向量为 4. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 5. 若为正方形，为的中点，且，则可以用和表示为 6. 若行列式，则 7. 计算： 8. 设，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 9. 在中，若，则的形状为 10. 在中，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是 11. 已知平行四边形，为锐角，且，点是边上一定点，点是边上一动点，若恒成立，则 12. 设是的垂心，且，则 二. 选择题13. 已知直线的方程为，则的法向量可以
2、是（ ）A. B. C. D. 14. 已知，且向量在向量方向上的投影是，则（ ）A. ， B. ，C. ，取任意实数 D. ，取任意实数15. 已知向量，对任意的，恒有，则（ ）A. B. C. D. 16. 对于非零向量、，定义运算“#”：，其中为、的夹角，有两两不共线的三个向量、，下列结论：若，则；若，则；其中正确的个数有（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三. 解答题17. 已知为原点，与垂直，与平行，求的坐标.18. 用行列式的方法解关于、的方程组，并对解的情况进行讨论.19. 已知， ，求与的夹角.20. 在中，已知，.（1）若点的坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面
3、积之比为，求直线的点方向式方程；（2）若是一个动点，且的面积为2，试求关于的函数关系式.21. 已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，.（1）求；（2）求证：；（3）求的取值范围.2020-20201学年上海市位育中学高二上数学10月月考卷参考答案一. 填空题1. 2. 3. 或 4. 5. 6. 7. 8. 9. 等腰三角形 10. 11. 1 12. 二. 选择题13. D 14. C 15. C 16. C三. 解答题17. .解：由题, 设为,则,所以因为与垂直,则,即,又因为与平行,则, 由可得,所以的坐标为18. 当时，方程有无数组解；当时，方程组无解；当且时，
4、方程组有唯一解.解：系数矩阵对应的行列式，当，即且时，方程组有唯一的解，即或时当时，原方程为无数组解，当时，原方程组为无解19. . 解：因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以.20.（1）；（2）或.解：（1），即，且，设点的坐标为，解得，.直线的斜率为，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，解得或.因此，关于的函数关系式为或.21.（1）；（2）证明见解析；（3）.解：（1）证明：G是ABC的重心，延长AG，交BC于点D，D是BC的中点，且GDAG；以向量、为邻边作平行四边形BGCE，如图所示；则+2；又，且2，2；+2+2（2）证明：取特殊直线PQ，使其过重心G且平行于边BC，点G为重心 2， p2，q2 1即（3）设，连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点于是（+）（+），（+）, 又由已知，+（+）（）+，因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足t，所以（）+tt，即：t，且t，消去参数t得：+3，由于APQ与ABC有公共角，则，由题设有01，01，于是1，1，32，12，+3，12，当，有最小值，当1或2时，有最大值，的取值范围为. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 7 页 共 7 页
