1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示目标定位重点难点1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解2.理解空间向量的坐标表示，掌握空间向量运算的坐标表示3.掌握空间向量的模、夹角公式与两点间距离公式的坐标表示，会判断向量的共线与垂直重点：空间向量的坐标运算难点：空间向量的平行和垂直条件，两个向量的夹角与向量模的坐标计算公式1空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c_，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，其中_叫作空间的一个基底，_都叫作基向量2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O且_的单位
2、向量e1，e2，e3称为单位正交基底不共面xaybzca，b，ca，b，c两两垂直(2)空间向量的坐标表示以 e1，e2，e3 的_为原点，分别以_的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.那么，对于空间任意一个向量 p，一定可以把它_，使它的_与原点 O 重合，得到向量OP p，由空间向量基本定理，可知存在有序实数组x，y，z，使得 p_.把_称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 p(x，y，z)公共起点Oe1，e2，e3平移起点xe1ye2ze3x，y，z3空间向量运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1
3、)ab_；(2)ab_；(3)a(a1，a2，a3)(R)；(4)ab_；(5)ab_；(6)ab_0.(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3(R)a1b1a2b2a3b34几个重要公式(1)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB _，即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的_ 的坐标减去_的坐标(2)模长公式：若 a(a1，a2，a3)，则|a|aa_.(x2x1，y2y1，z2z1)终点起点a21a22a23(3)夹角公式：若 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3
4、)，则 cosa，b_.(4)两点间的距离公式：若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB|AB|_.ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23x2x12y2y12z2z121设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当非零向量 a，b，c 不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底当a，b，c为基底时，一定有 a，b，c 为非零向量因此 p/q，qp.2已知 ABCD 为平行四边形且 A(4,1,3)，B(2，5,1
5、)，C(3,7，5)，则顶点 D 的坐标为()A.72，4，1B(2,3,1)C(3,1,5)D(5,13，3)【答案】D【解析】四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC.设 D 坐标为(x，y，z)，则(2，5,1)(4,1,3)(3,7，5)(x，y，z)(x，y，z)(5,13，3)3已知向量 a(1,1，2)，b2，1，1x，若 ab0，则实数 x 的取值范围为()A.0，23B(，0)23，C.0，23D(，0)23，【答案】D【解析】ab212x0，即3x2x0，解得 x0 或 x23.故选 D.4若向量 a(1，2)，b(2，1,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为89，则 _
6、.【答案】2 或 255【解析】由已知得89 ab|a|b|2452 9，所以 8 523(6)，解得 2 或 255.空间向量基本定理的理解【例 1】已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC 能否作为空间的一个基底？【解题探究】判断OA，OB，OC 是否共面解：假设 OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数 x，y，使 OA xOB yOC 成立e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3
7、不共面3xy1，xy2，2xy1无解即不存在实数 x，y，使OA xOB yOC 成立，OA，OB，OC 不共面故OA，OB，OC 能作为空间的一个基底判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断1设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_【答案】【解析】如图，设 aAB，bAA1，cAD，则 xAB1，yAD1，zAC，abcAC1.由 A，B1，D，C 四点不共面可知向量 x，y，z 也不共面同理可知
8、 b，c，z 和 x，y，abc 也不共面，可以作为空间的基底因为 xab，所以 a，b，x 共面，故不能作为基底用坐标表示已知向量【例 1】已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点且 PAAD.求MN 的坐标【解题探究】建立适当的空间直角坐标系，将MN 进行正交分解【解析】(方法一)以 A 为原点，DA，AB，AP 所在直线为 x轴，y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系，如图，设 x 轴，y 轴，z轴正方向上的单位向量分别为 i，j，k.MN MA APPNMA AP12PCMA AP12(PAAD DC)12jk12(kij)12i12k.MN 12
9、，0，12.(方法二)如上图所示的空间直角坐标系MN MA APPN，MN MB BCCN.M，N 分别为 AB，PC 的中点，由，得 2MN APBCki，MN 12(ki)12i12k.MN 12，0，12.空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线，建立的空间直角坐标系不同，得到的坐标也不同，故本题的答案不唯一2在直三棱柱 ABOA1B1O1 中，AOB2，|AO|4，|BO|2，|AA1|4，D 为 A1B1的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，DO 的坐标是_，A1B 的坐标是_【答案】(2，1，4)(4,2，4)【解析】依题意，A1(4,0,4)，B(0,2,0)，B1(0
10、,2,4)，O(0,0,0)，所以点 D 的坐标是(2,1,4)，所以DO(2，1，4)，A1B(4,2，4)【例3】已知a(1,1,0)，b(0,1,1)，c(1,0,1)，pab，qa2bc，求p，q，pq.【解题探究】利用空间向量的坐标运算法则计算即可解：pab(1,1,0)(0,1,1)(1,0，1)qa2bc(1,1,0)2(0,1,1)(1,0,1)(0,3,1)pq(1,0，1)(0,3,1)1.空间向量的坐标运算(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量
11、积运算；先算括号里，后算括号外(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用3已知 O 为坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)求点 P 的坐标，使得：(1)OP 12(ABAC)；(2)AP12(ABAC)解：AB(2,6，3)，AC(4,3,1)，ABAC(6,3，4)(1)OP 12(6,3，4)3，32，2，则点 P 的坐标为3，32，2.(2)设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)12(ABAC)AP3，32，2，x5，y12，z0.点 P 的坐标为5，12，0.【例 4】已知正方
12、体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P，Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B1P PD1.(1)若 PQAE，BD DQ，求 的值；(2)若 G 是 A1D 的中点，点 H 在平面 xOy 上，且 GHBD1，试判断点 H 的位置【解题探究】建立适当的直角坐标系，利用空间向量的坐标计算利用向量的坐标运算证明平行、垂直 解：(1)如图所示，以点 D 为原点，DA，DC，DD1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则A(1,0,0)，E 0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)由题意可
13、设点 P 的坐标为(a，a,1)3B1P PD1，3(a1，a1,0)(a，a,0)，解得 a34.点 P 的坐标为34，34，1.由题意可设点 Q 的坐标为(b，b,0)PQAE，PQ AE0.b34，b34，1 1，0，12 0，解得 b14.点 Q 的坐标为14，14，0.BD DQ，(1，1,0)14，14，0，解得 4.(2)G 是 A1D 的中点，点 G 的坐标为12，0，12.点 H 在平面 xOy 上，设点 H 的坐标为(m，n,0)，GH(m，n,0)12，0，12 m12，n，12，BD1(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)，且 GHBD1.m121 n1121.解得
14、 m1，n12.点 H 的坐标为1，12，0，H 为线段 AB 的中点解决空间向量垂直、平行问题的有关思路：(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标例如，设向量a(x，y，z)(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数例如，已知ab，则引入参数，有ab，再转化为方程组求解(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的4如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABCD，ADAB，AB2，AD 2，AA13，E 为 CD 上一点，DE1，EC3.求证：BE平面 BB1C1C证明：如图所示，以点 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
15、则 B(2，2,0)，E(0,1,0)，C(0，4,0)，B1(2，2,3)BE(2，1,0)，BC(2，2,0)，BB1(0,0,3)BEBC2200，BEBB1 0000.BEBC，BEBB1，即 BEBC，BEBB1.又 BCBB1B，BE平面 BB1C1C【例 5】如 图，在 直 三 棱 柱(侧 棱 垂 直 于 底 面 的 棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题 解：(1)建立如图空间直角坐标系 Cxyz，依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，|B
16、N|102012102 3.线段 BN 的长为 3.(2)依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，则BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)BA1 CB1 10(1)1223.又|BA1|6，|CB1|5，cosBA1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 3010.1利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：(1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系(2)利用题设条件写出有关的坐标，进而获得相关的坐标(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角2利用向量解决
17、几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单5设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab，|a2b|及a与b的夹角的余弦值【解题探究】利用向量数量积公式进行计算解：2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(5,13，28)ab653221.a2b(3,5，4)2(2,1,8)(1,3，20)，|a2b|410.cosa，b ab|a|b|2150 697 138230.建立坐标系易出错【示例】如下图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC4，OA底面ABCD，O
18、A2，M 为 OA 的中点，N 为BC 的中点求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小【错解】以 A 为坐标原点，AB，AD，AO 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，M(0,0,1)，D(0,1,0)AB(1,0,0)，MD(0,1，1)cosAB，MD ABMD|AB|MD|0.AB 与 MD 所成的角为 90.【错因分析】将BAD误认为是90，以至于建系错误，则后面的错误就不可避免了【正解】作 APCD 于点 P，如图，分别以 AB，AP，AO所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，M(0,0,
19、1)，D 22，22，0.设 AB 与 MD 所成角为.AB(1,0,0)，MD 22，22，1，【警示】空间直角坐标系的建立必须保证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线创造三条两两垂直的直线cos|ABMD|AB|MD|12.3.AB 与 MD 所成角的大小为3.1利用向量求解或证明时可以选择基底来处理，也可以建立直角坐标系化为坐标运算，通常坐标运算较为简单2坐标运算，选择坐标系是关键，为了使点的坐标易于计算和证明，一定要分析几何体的特征，选取合适的坐标系，同时还要灵活应用平面几何的相关知识进行求解1已知点 A 的坐标是(1，2,6)，点 B 的坐标是(1,
20、2，6)，O 为坐标原点，则 OA 与 OB 的夹角是()A0B2CD32【答案】C【解析】OA(1，2,6)，OB(1,2，6)(1，2,6)OA，OA 与OB 的夹角为.2已知 a(2，t，t)，b(1t，2t1，0)，则|ba|的最小值是()A 2B 3C 5D 6【答案】A【解 析】b a (1 t，t 1，t)，|b a|1t2t12t2 3t22 2，当且仅当 t0 时取等号|ba|的最小值是 2.故选 A3设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，若a4e18e23e3，则a的坐标为_【答案】(4，8,3)【解析】由于e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，所以a(4，8,3)4已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则实数x_.【答案】4【解析】ab(2,1,3x)，(ab)c，(ab)c0.2(x)2(3x)0.x4.
