1、圆锥曲线定义的应用对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x225y2225上的动点，求MAMB的最大值与最小值【思路点拨】A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转
2、化【规范解答】如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(4,0)(左焦点)由椭圆的定义，得MAMA12a，MA2aMA1，MAMB(2aMA1)MB2a(MBMA1)|MBMA1|A1B2，即2MBMA12，又2a10，MAMB的最大值是102，最小值为102.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且AKAF，求AFK的面积【解】抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，准线为x2，K(2,0)，设A(x0，y0)，如图，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(2，y0)，AKAF，又AFABx0(2)x02，由BK2AK2AB
3、2得y(x02)2，即8x0(x02)2，解得x02，y04.AFK的面积为KF|y0|448.圆锥曲线的标准方程和几何性质圆锥曲线的方程和性质的应用主要体现在已知方程求几何性质，已知圆锥曲线的性质求圆锥曲线的方程，重在考查基础知识、基本思想方法，属容易题，其中对离心率的考查是重点(2013浙江高考改编)如图21，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_图21【思路点拨】由椭圆可求出|AF1|AF2|，由矩形求出|AF1|2|AF2|2，再求出|AF2|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求
4、得双曲线的离心率【解析】由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2，因此对于双曲线有a，c，所以C2的离心率e.【答案】已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_【解析】由题意知双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心
5、为C(3,0)由双曲线的两条渐近线均与圆C相切可知直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.【答案】1直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线是平面解析几何的两个主要研究对象，直线与圆锥曲线的综合问题是本章最常见，同时也是最重要的综合问题，它主要分为交点个数、弦长、中点、垂直、对称、定值、最值、范围等问题，解决这些问题的方法是：(1)利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式；(2)利用设而不求、整体代入，包括点差法；(3)解方程组，求出交点坐标；(4)利用定义已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线
6、和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程【思路点拨】联立、消元一元二次方程判别式m的范围韦达定理弦长公式求函数最值【规范解答】(1)由得5x22mxm210.因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，5x22mxm210，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2(m21)所以d，所以当m0时，d最大，此时直线方程为yx.圆C1的方程为(x2)2(y1)2，椭圆C2的方程为1(ab0)，其离心率为，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好为圆C1的直径，求线段AB的方程
7、和椭圆C2的方程【解】由e，得a22c22b2，椭圆C2的方程为1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由圆心(2,1)，得x1x24，y1y22.又1，1，相减整理，得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0.从而1，直线方程为y1(x2)，即yx3.由3x212x182b20.直线AB与椭圆相交0，即b23.由AB|x1x2| 2，得b28.a216.椭圆方程为1.动点轨迹方程的求法求点的轨迹方程的主要方法有直接法、定义法、代入转移法和参数法首先看动点是否满足已知曲线的定义，若符合，就可直接利用已知的曲线方程比较简捷；若动点所满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点
8、所满足的条件不明了，但与之相关的另一个点所满足的条件明了，我们就使用代入转移法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法设圆(x1)2y21的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程【思路点拨】画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解【规范解答】法一(直接法)设B点坐标为(x，y)，由题意，得OB2BC2OC2，如图所示，即x2y2(x1)2y21，即OA中点B的轨迹方程为(x)2y2(去掉原点)法二(定义法)设B点坐标为(x，y)，由题意知CBOA，OC的中点记为M(，0)，则MBOC，故B点的轨迹方程为(x)2y2(去掉原点)法三(代入
9、法)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，由题意得即又因为(x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21.即(x)2y2(去掉原点)法四(交轨法)设直线OA的方程为ykx，当k0时，B为(1,0)；当k0时，直线BC的方程为y(x1)，直线OA，BC的方程联立消去k即得其交点轨迹方程：y2x(x1)0，即(x)2y2(x0,1)，显然B(1,0)满足(x)2y2，故(x)2y2(去掉原点)为所求已知点H(3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HPPM，.当点P在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程【解】设M(x，y)，P(0，b)，Q(a,0)，其中a0
10、，则(x，yb)，(ax，y)，即(x，yb)(ax，y)yb(y)，b.(3，)，(x，y)PHPM，0，即3x0，整理得y24x，动点M的轨迹方程为y24x.函数与方程思想方程的思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，它是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将题目的条件转化为方程或方程组，然后通过方程或方程组从而使问题获解本章中函数与方程思想应用广泛，尤其是方程思想，在讨论直线与圆锥曲线问题时，应用广泛点A、B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB
11、，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值【思路点拨】(1)由PAPF得P点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P点的坐标(2)由M到直线AP的距离等于MB求出M点坐标，将距离d表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值【规范解答】(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)设点P(x，y)，则kAPkPF1.由已知可得则2x29x180.解得x，或x6(舍去)所以x，由于y0，故y.所以点P的坐标是(，)(2)易知直线AP的方程是xy60.设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是.于是|m6|.又6m6，解得m2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平方为：d2(x2)2y2x24x420x2(x)
12、215.由于6x6，所以当x时，d取得最小值.图22如图22所示，已知正方形ABCD的两个顶点A，B在抛物线y2x上，C，D在直线l：yx4上，求正方形的面积【解】法一设A(y，y1)，B(y，y2)，正方形的边长为d，则D(yd，y2)，C(y，dy1)，C，D在直线l上，所以由可知y1，y2都是t2t4d0的实数根，所以y1y21，y1y24d.y1y2yy，将代入，得(y1y2)2d2，所以(y1y2)24y1y2d2即14(4d)d2，所以d28d300，(d3)(d5)0，解得d218或d250.从而正方形ABCD的面积为18或50.法二设正方形ABCD的边长为d，则直线AB的方程为
13、yx4d，所以有方程组消去x，得y2y4d0，弦长AB，令d，则d28d300，以下同解法一综合检测(二)第2章圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1(2013大连高二检测)双曲线1的渐近线方程是_【解析】由题意知双曲线焦点在x轴上a3，b2，渐近线方程yx.【答案】yx2已知抛物线C与椭圆1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的标准方程是_【解析】抛物线的焦点为(1,0)，抛物线的方程为y24x.【答案】y24x3(2013合肥高二检测)方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是_【解析】(a1)2a
14、2，a22a1a2，a0)，抛物线的准线为x4，由AB4，则|yA|2，把坐标(4,2)代入双曲线方程得mx2y216124，所以双曲线方程为x2y24，即1，所以a24，a2，所以实轴长2a4.【答案】4图110(2012福建高考改编)如图1，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上，则抛物线E的方程为_【解析】依题意知，OB8，BOy30.设B(x，y)，则xOBsin 304，yOBcos 3012.因为点B(4，12)在抛物线E：x22py(p0)上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.【答案】x24y11(2013苏锡常镇四市
15、检测)如图2，已知椭圆的方程为1(ab0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆的离心率等于_图2【解析】由BC，OA平行且相等及椭圆的对称性，可得点C的横坐标为.由COxOAB30，得C(，)，代入椭圆的方程得1，即a29b2，则c2a2b28b2，故椭圆的离心率e.【答案】12已知动圆P与定圆C：(x2)2y21相外切，又与定直线l：x1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是_【解析】由抛物线定义知：点P的轨迹是以(2,0)为焦点，直线x2为准线的抛物线，故点P的轨迹方程是y28x.【答案】y28x13(2013安徽高考)已知直线ya交抛物线yx
16、2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_【解析】设C(x，x2)，由题意可取A(，a)，B(，a)，则(x，ax2)，(x，ax2)，由于ACB，所以(x)(x)(ax2)20，整理得x4(12a)x2a2a0，即y2(12a)ya2a0，所以解得a1.【答案】1，)14老师在黑板上画出了一条曲线，让四名同学各回答一条性质，他们回答如下：甲：曲线的对称轴为坐标轴；乙：曲线过点(0,1)；丙：曲线一个焦点为(3,0)；丁：曲线的一个顶点为(2,0)其中有一名同学回答是错误的，请写出该曲线的方程_(只需写出一个方程即可)【解析】当乙错时，则曲线可以为双曲线，c3，
17、a2，b2945，方程为1.当丙错误时，曲线可以为椭圆，其中a2，b1，方程为y21.当丁错误时，曲线可以为椭圆，其中c3，b1，a2c2b210，方程为y21.【答案】y21或y21或1(只需写出一个方程即可)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(2013西安高二检测)若椭圆经过M(2，)和N(1,2)，求椭圆的标准方程【解】设所求的椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，因为椭圆过M(2，)，N(1,2)，所以有，得.所求椭圆方程为1.16(本小题满分14分)(2012安徽高考)如图3，F1、F2分别是椭圆C：1(a
18、b0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值图3【解】(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B(c，c)，所以SAF1B|F1F2|(yAyB)c240，c5，故a10，b5.法二设ABt.因为AF2a，所以BF2ta.由椭圆定义BF1BF22a可知，BF13at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，
19、b5.17(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P(，)，求抛物线的方程和双曲线的方程【解】依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P(，)在抛物线上，62p，解得2p4，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，则a2b21，又点P(，)在双曲线上，1，解方程组得或所求双曲线的方程为4x2y21.18(本小题满分16分)(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；
20、(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程【解】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，所以c1.将点P(0,1)代入椭圆方程1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y并整理得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为
21、yx或yx.19(本小题满分16分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e.已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程【解】设椭圆方程为1(ab0)，M(x，y)为椭圆上的点，由得a2b.PM2x2(y)23(y)24b23(byb)，若b，故舍去若b时，则当y时，PM2最大，即4b237，解得b21.所求方程为y21.20(本小题满分16分)已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点，(1)若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线yx对称？说明理由【解】(1)联立方程 ，消去y得(3a2)x22ax20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么：由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即x1x2y1y20.所以x1x2(ax11)(ax21)0，得到(a21)a10，a26，解得a1.(2)假定存在这样的a，使A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yx对称那么，两式相减得3(xx)yy，从而.(*)因为A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yx对称，所以代入(*)式得到：26，矛盾也就是说不存在这样的a，使A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yx对称
