1、高考资源网（ ），您身边的高考专家4.4三角函数的图象和性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(k，k)(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，yma
2、x1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0)(kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期221判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(2)ysin x在x0，上是增函数()(3)ycos x在第一、二象限上是减函数()(4)ytan x在整个定义域上是增函数()(5)yksin x1(xR)，则ymaxk1.()(6)若sin x，则x.()2(2012福建)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax
3、Bx Cx Dx答案C解析方法一正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.方法二用验证法x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin1，符合题意，C项正确；x时，ysin，不合题意，故D项也不正确3若函数f(x)sin x (0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A. B. C2 D3答案B解析f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x (0)在上单调递增，在上单调递减知，.4(2013湖北)将函数ycos xsin
4、 x(xR) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.答案B解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它关于y轴对称可得sin(m)1，mk，kZ，mk，kZ，m0，m的最小值为.5函数ylg sin 2x的定义域为_答案x|3x或0x解析由，得3x或0x.函数ylg sin 2x的定义域为x|3x或0x.题型一求三角函数的定义域和最值例1(1)(2012山东)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1(2)函数y的定义域为_思维启迪求函数的定义域可利用三角
5、函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识答案(1)A(2)x|xk且xk，kZ解析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值0x9，x，sin.y，ymaxymin2.(2)要使函数有意义，必须有，即故函数的定义域为x|xk且xk，kZ思维升华(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域
6、(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)(1)(2013湛江调研)函数ylg(sin x)的定义域为_(2)函数ysin2xsin x1的值域为()A1,1 B，1C，1 D1，答案(1)x|2kx2k，kZ(2)C解析(1)要使函数有意义必须有即解得(kZ)，2kx2k，kZ，函数的定义域为x|2k0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为()A(，0) B(0,0)C(，0) D(，0)(2)设函数ysin(x)(0，(，
7、)的最小正周期为，且其图象关于直线x对称，则在下面四个结论：图象关于点(，0)对称；图象关于点(，0)对称；在0，上是增函数；在，0上是增函数中，所有正确结论的编号为_答案(1)C(2)解析(1)由条件得f(x)sin(ax)，又函数的最小正周期为1，故1，a2，故f(x)sin(2x)将x代入得函数值为0.(2)T，2.又2k(kZ)，k(kZ)(，)，ysin(2x)，由图象及性质可知正确三角函数的单调性、对称性典例：(10分)(1)已知0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是()A， B，C(0， D(0,2(2)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x
8、)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为()A1 B3 C1或3 D3思维启迪(1)(，)为函数f(x)某个单调减区间的子集；(2)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可答案(1)A(2)C解析(1)由x得x0)的形式2函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质失误与防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时
9、的符号，尽量化成0时情况.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1下列函数中，周期为且在0，上是减函数的是()Aysin(x) Bycos(x)Cysin 2x Dycos 2x答案D解析对于函数ycos 2x，T，当x0，时，2x0，ycos 2x是减函数2(2012湖南)函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D.答案B解析将函数化为yAsin(x)的形式后求解f(x)sin xcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin(xR)，f(x)的值域为，3(2013浙江)已知函数f(x)Acos(x)(A0
10、，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析f(x)AcosAsin x为奇函数，“f(x)是奇函数”是“”的必要条件又f(x)Acos(x)是奇函数f(0)0k(kZ)D/.“f(x)是奇函数”不是“”的充分条件4若f(x)2cos(x)m对任意实数t都有f(t)f(t)，且f()1，则实数m的值等于()A1 B1或3C3 D3或1答案D解析对任意实数t，都有f(t)f(t)，则函数f(x)的图象关于x对称，所以cos()1，即f()2m1m3或1.5(2012天津)将函数f(x)sin x(其中0)的图象向
11、右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A. B1 C. D2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ，将代入得sin 0，则2k，kZ，且0，故的最小值为2.二、填空题6函数ycos(2x)的单调减区间为_答案k，k(kZ)解析由ycos(2x)cos(2x)得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函数的单调减区间为k，k(kZ)7当x，函数ysin xcos x的最大值为_，最小值为_答案21解析y2sin(x)，x，sin(x)1，1y2，故ymax2，ymin1.8已知函数f(x)Atan(x)(0，|)，yf(x)的部分图象如图，则f()_.答案解析由题中图象可
12、知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图象过定点(，0)，所以0Atan(2)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|，所以.又图象过定点(0,1)，所以A1.综上可知，f(x)tan(2x)，故有f()tan(2)tan .三、解答题9设函数f(x)sin (0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
