1、2015-2016学年贵州省遵义市习水一中高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=x|x22x30，B=x|log2（x1）2，则（RA）B=（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）2命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）A若x2+y2=0，则x0且y0B若x2+y2=0，则x0或y0C若x2+y20，则x0且y0D若x2+y20，则x0或y03欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重
2、要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4函数f（x）=，则ff（）=（）AB1C5D5等差数列an前n项和为Sn，且=+1，则数列an的公差为（）A1B2C2015D20166若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）AabcBbacCcbaDbca72012年初，甲乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业2015年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同则2015年企业缴纳
3、地税的情况是（）A甲多B乙多C甲乙一样多D不能确定8老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（） 两人说对了A甲 丙B乙 丁C丙 丁D乙 丙9已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则ABC的面积为（）ABCD10已知函数y=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线x=1对称，则sin2=（）ABCD11已知函数是1，上的增函数当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过Q的直
4、线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）A（0，3）B（0，3）C（0，2）D（0，2）12已知R，函数g（x）=x24x+1+4，若关于x的方程f（g（x）=有6个解，则的取值范围为（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13已知等比数列前n项和为Sn，若S2=4，S4=16，则S6=14已知x、y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=15在ABC中，A=30，2=32，则ABC的最大角的余弦值为16定义maxa，b表示实数a，b中的较大的数已知数列an
5、满足a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），若a2015=4a，记数列an的前n项和为Sn，则S2015的值为三、解答题17已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积18网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物（）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（）用、分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=，求随机变量
6、X的分布列与数学期望EX19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）求证：平面PQB平面PAD；（）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（）若二面角MBQC大小为30，求QM的长20已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=ax+x2xlna（a
7、0且a1）（1）求函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）单调区间；（3）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围选做题选修4-1：几何证明选讲22如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交O于点E，连接BE与AC交于点F（1）判断BE是否平分ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长2015-2016学年贵州省遵义市习水一中高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=x|x22x30
8、，B=x|log2（x1）2，则（RA）B=（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由已知可得RA=x|x22x30，解不等式求出RA，和集合B，结合集合交集运算的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|x22x30，RA=x|x22x30=（1，3），又B=x|log2（x1）2=x|0x14=（1，5），（RA）B=（1，3），故选：A2命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）A若x2+y2=0，则x0且y0B若x2+y2=0，则x0或y0C若x2+y20，则x0且y0D若x2+y20，则x0或y0【考点】命题的否定【分析】直接利
9、用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可【解答】解：命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为：若x2+y20，则x0或y0故选：D3欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算【分析】e2i=cos2+isin2，根据2，即可判断出【解答】解：e2i=cos2+isin2，2，cos2
10、（1，0），sin2（0，1），e2i表示的复数在复平面中位于第二象限故选：B4函数f（x）=，则ff（）=（）AB1C5D【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质，先求出f（），再求ff（）的值【解答】解：函数f（x）=，f（）=，ff（）=f（）=2=故选：A5等差数列an前n项和为Sn，且=+1，则数列an的公差为（）A1B2C2015D2016【考点】数列递推式【分析】设等差数列an的公差为d可得=d，即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，=d又=+1，等差数列an的公差为2故选：B6若a=ln2，b=，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）AabcBbacCcbaDb
11、ca【考点】定积分；不等关系与不等式【分析】利用定积分求解c，判断a，b与c的大小即可【解答】解：，所以acb，故选：D72012年初，甲乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业2015年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同则2015年企业缴纳地税的情况是（）A甲多B乙多C甲乙一样多D不能确定【考点】函数模型的选择与应用【分析】设2012年和2014年缴纳的地税，分别为a，b，甲年增长数相同，为x，企业乙年增长率相同，为y，则a+2x=b，a（1+y）2=b，可得2015年企业缴
12、纳地税，甲b+x，乙b（1+y），作差，即可比较大小【解答】解：设2012年和2014年缴纳的地税，分别为a，b，甲年增长数相同，为x，企业乙年增长率相同，为y，则a+2x=b，a（1+y）2=b，2015年企业缴纳地税，甲b+x，乙b（1+y），b（1+y）（b+x）=byx=b（1）=0，2015年企业缴纳地税，乙比甲多，故选：B8老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（） 两人
13、说对了A甲 丙B乙 丁C丙 丁D乙 丙【考点】进行简单的合情推理【分析】判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确故答案为：乙、丙9已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则ABC的面积为（）ABCD【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】由可得到，这三个式子的两边分别平方即可求出cosAOB，cosBOC，cosAOC，从而可以得出sinAOB，sinBOC，sinAOC，这样根据三角形的面积公式即可分别求出AOB，BOC，AOC的面积，从而得到ABC的面积
14、【解答】解：如图，；由得：，；两边平方得：；OAOB；同理两边分别平方得：，；SABC=SAOB+SBOC+SAOC=故选：C10已知函数y=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线x=1对称，则sin2=（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可【解答】解：y=sin（x+）2cos（x+）=sin（x+），其中sin=，cos=函数的图象关于直线x=1对称，+=+k，即=+k，则sin2=sin2（+k）=sin（2+2k）=sin（2）=sin2=2sincos=2=，故选：A11已知函数是1，上的增函数当实数m取最
15、大值时，若存在点Q，使得过Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）A（0，3）B（0，3）C（0，2）D（0，2）【考点】定积分在求面积中的应用【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可【解答】解：由得g（x）=x2+1g（x）是1，+）上的增函数，g（x）0在1，+）上恒成立，即x2+10在1，+）上恒成立设x2=t，x1，+），t1，+），即不等式t+10在1，+）上恒成立设y=t+1，t1，+），y=1+
16、0，函数y=t+1在1，+）上单调递增，因此ymin=2mymin0，2m0，即m2又m0，故0m2m的最大值为2故得g（x）=x3+x2+，x（，0）（0，+）将函数g（x）的图象向上平移2个长度单位，所得图象相应的函数解析式为（x）=x3+2x+，x（，0）（0，+）由于（x）=（x），（x）为奇函数，故（x）的图象关于坐标原点成中心对称由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，2）成中心对称这表明存在点Q（0，2），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等故选：C12已知R，函数g（x）=x24x+1+4，若关于x的方程f（g（x）=有6个解，
17、则的取值范围为（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=的图象，则方程f（t）=的解有3个，由图象可得，01且三个解分别为t1=1，t2=1+，t3=10再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=的解有3个，由图象可得，01且三个解分别为t1=1，t2=1+，t3=10，则x24x+1+4=1，x24x+1+4=1+，x24x+1+4=10，均有两个不相等的实根，则10，且20，且30，即164（2+5）0且164（2+3）0，解得0，当0时，3=164（1+410）0即34+100恒
18、成立，故的取值范围为（0，）故选D二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13已知等比数列前n项和为Sn，若S2=4，S4=16，则S6=52【考点】等比数列的通项公式【分析】由等比数列的性质可得S2，S4S2，S6S4成等比数列，解关于S6的方程可得【解答】解：等比数列前n项和为Sn，S2=4，S4=16，又S2，S4S2，S6S4成等比数列，（S4S2）2=S2（S6S4），（164）2=4（S616），解得S6=52故答案为：5214已知x、y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=2.6【考点】线性回归方程
19、【分析】根据表中的数据可以分别求出变量x，y的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a【解答】解：根据表中数据得：；又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；故答案为：2.615在ABC中，A=30，2=32，则ABC的最大角的余弦值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】A=30，利用数量积运算性质可得：2=2cos30=bc，又2=32，可得bc=利用正弦定理可得：sinBsinC=sin2A=于是sinB=，化简整理可得：tan2B=，由于，即可得出【解答】解：A=30，2=2cos30=bc，2=32，bc=3a2，bc=sinBsinC=sin2
20、A=sinB=，sinB=，化为+=，化为tan2B=，2B2B=，或2B=，B=，或B=A=B=，C=或A=C=，B=ABC的最大角的余弦值=故答案为：16定义maxa，b表示实数a，b中的较大的数已知数列an满足a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），若a2015=4a，记数列an的前n项和为Sn，则S2015的值为7254【考点】数列递推式【分析】当0a2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列an是以5为周期的周期数列，a2015=a5=4=4a，解得a=1，求出S2015的值；当a2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列an是以5为周期的周期数列，a2015=a
21、5=2a=4a，解得a=0，不合题意【解答】解：当0a2时，a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），a3=2max1，2=2，a4=2max，2=，a5=2max，2=4，a6=2max4，2=a，a7=2maxa，2=1，a8=2max1，2=，数列an是以5为周期的周期数列，2015=4035，a2015=a5=4=4a，解得a=1，S2015=403（a+1+）=403（1+1+4+8+4）=7254；当a2时，a1=a（a0），a2=1，an+2=（nN），a3=2max1，2=2，a4=2max，2=4，a5=2max4，2=2a4，a6=2max2a，2=a2，a7=2ma
22、xa，2=1，a8=2max1，2=，数列an是以5为周期的周期数列，2015=4035，a2015=a5=2a=4a，解得a=0，不合题意故答案为：7254三、解答题17已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积【考点】余弦定理的应用；正弦定理【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积【解答】解：（1）在ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB0，所以si
23、nA+cosA=0，即，又因为A（0，），所以（2）在ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，则即，解得或，又，所以18网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物（）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（）用、分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=，求随机变量X的分布列与数学期望EX【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）依题意，这4个人中，每个人去
24、淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率（）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P（A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=（）由已知得X的所有可能取值
25、为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）=，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）=，X的分布列为： X 0 3 4 PEX=19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）求证：平面PQB平面PAD；（）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（）若二面角MBQC大小为30，求QM的长【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（）由题意易证QBAD，由面面垂直的性质可得BQ平面PAD，可得结
26、论；（）易证PQ平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得的方程，解方程可得，可得所求【解答】解：（）ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ又ADC=90，AQB=90 即QBAD又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，BQ平面PADBQ平面PQB，平面PQB平面PAD（）PA=PD，Q为AD的中点，PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD如图，以Q为原
27、点建立空间直角坐标系则Q（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0）M是PC中点，设异面直线AP与BM所成角为则cos=，异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（）由（）知平面BQC的法向量为，由，且01，得，又，平面MBQ法向量为二面角MBQC为30，|QM|=20已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的
28、标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可【解答】解：（1）由题意，c=1点（1，）在椭圆C上，根据椭圆的定义可得：2a=，a=b2=a2c2=1，椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（，0），则=，m=当直线l的斜率不存在时，则=，m=或m=由可得m=下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty1=0，y1+y2=，y1y2=（x1，y1）（x2，y
29、2）=（ty1）（ty2）+y1y2=（t2+1）y1y2t（y1+y2）+=+=综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立21已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0且a1）（1）求函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）单调区间；（3）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先求f（x），再计算f（0），和f（0），即可得到切线方程；（2）先求函数的导数f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna，并且f（0）=0，判断零点两侧的正负，得到单调区
30、间；（3）将存在性问题转化为|f（x1）f（x2）|maxe1，即f（x）maxf（x）mine1，根据上一问的单调性得到最小值f（0），再计算端点值f（1）和f（1）比较大小因为，再令令，求其导数，分情况比较大小，计算a的取值范围【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1），所以f（x）=axlna+2xlna，f（0）=0，又因为f（0）=1，所以函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=1；（2）由（1），f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna当a1时，lna0，（ax1）lna在R上递增；当0a1时，lna0，（ax1）lna在R上递增；
31、故当a0，a1时，总有f（x）在R上是增函数，又f（0）=0，所以不等式f（x）0的解集为（0，+），故函数f（x）的单调增区间为（0，+），递减区间为 （，0）；（3）因为存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1成立，而当x1，1时，|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min，所以只要f（x）maxf（x）mine1即可又因为x，f（x），f（x）的变化情况如下表所示： x （，0）0（0，+）f（x）0+f（x）减函数极小值增函数可得f（x）在1，0上是减函数，在0，1上是增函数，所以当x1，1时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x
32、）max为f（1）和f（1）中的最大值因为，令，因为，所以在a（0，1）、（1，+）上是增函数而g（1）=0，故当a1时，g（a）0，即f（1）f（1）；当0a1时，g（a）0，即f（1）f（1）所以，当a1时，f（1）f（0）e1，即alnae1，函数y=alna在a（1，+）上是增函数，解得ae；当0a1时，f（1）f（0）e1，即，函数在a（0，1）上是减函数，解得综上可知，所求a的取值范围为选做题选修4-1：几何证明选讲22如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交O于点E，连接BE与AC交于点F（1）判断BE是否平分ABC，并说明理由；（
33、2）若AE=6，BE=8，求EF的长【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【分析】（1）BE平分ABC由已知中边的相等，可得CAD=D，ABC=ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得CAD=D=DBE，即有ABE+EBD=CAD+D，利用等量减等量差相等，可得EBD=D=ABE，故得证（2）由（1）中的所证条件ABE=FAE，再加上两个三角形的公共角，可证BEAAEF，利用比例线段可求EF【解答】解：（1）BE平分ABC，理由如下：证明：AC=CD，CAD=ADC，ACB=CAD+ADC=2CAD又AB=AC，ABC=ACB=2CAD，CAD=EBC，ABC=2EBC，BE平分ABC；（2）连接EC，由（1）BE平分ABC，E是弧AC的中点，AE=EC=6，又EBC=CAD=ADC，ED=BD=8A、B、C、E四点共圆，CED=ABC=ACB=AEFAEFDEC，EF=2016年8月2日
