1、3.2.4二面角及其度量学习目标：1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l，若A，B，则二面角也可以记作AlB，也可记作2l，二面角的范围为0，(3)二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角
2、l的平面角思考：如何找二面角的平面角？提示(1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致2用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为，n1，n2为两个非零向量(1)当n1，n2，n1l，n2l，且n1，n2的方向分别与半平面，的延伸方向相同，则n1，n2(2)当n1，n2，则n1，n2或n1，n2基础自测1思考辨析(1)二面角的范围是.()(2)若二面角l的两个半平面
3、的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2一定相等()(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量()提示(1)不是是0，(2)不一定可能相等，也可能互补(3)2三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A BC或 D或C当二面角ABDC为锐角时，它就等于n1，n2；当二面角ABDC为钝角时，它应等于n1，n2.3已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_【导学号：33242306】由题得(1,2,0)，(1,0,3)设平面ABC的法向量为n(
4、x，y，z)由知令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n.平面xOy的一个法向量为(0,0,3)由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos |.合 作 探 究攻 重 难用定义法求二面角如图3232所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB，求二面角AVBC的余弦值图3232思路探究先判断VAB，VBC为等边三角形，取VB的中点E，连接AE，CE，再证明AEC是二面角的平面角解取VB的中点为E，连接AE，CE.VAVBVCAB，AEVB，CEVB.AEC是二面角AVBC的平面角设ABa，连接AC，在AEC中，AEECa，ACa，由余弦定理可知：cosAEC，所求二面
5、角AVBC的余弦值为.规律方法用定义求二面角的步骤：(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角.跟踪训练1如图3233所示，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.图3233(1)证明AB平面VAD；(2)求面VAD与面VDB夹角的正切解(1)证明：平面VAD平面ABCD，交线为AD.AB平面ABCD，ABAD.AB平面VAD.(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE.VAD是正三角形，AEVD，AEAD.AB平面VAD，ABAE.又由三垂线定理知BEVD.因此，
6、AEB是所求二面角的平面角于是tanAEB，即平面VAD与平面VDB夹角的正切为.用向量法求二面角探究问题1构成二面角的平面角有几个要素？提示(1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？提示条件平面，的法向量分别为u，v，所构成的二面角的大小为，u，v图形关系计算cos cos cos cos 如图3234所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形图3234(1)证明：O1O底面ABCD
7、.(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值【导学号：33242307】思路探究(1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值解(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，所以O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD，又O1O底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，
8、因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，则由m，m，所以x2z0，y2z0，取z，则x2，y2，所以m(2,2，)，所以cosm，n.由图形可知二面角C1OB1D的大小为锐角，所以二面角C1OB1D的余弦值为.母题探究：1.(改变问法)本例条件不变，求二面角BA1CD的余弦值解如图建立空间直角坐标系设棱长为2，则A1(0，1,2)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)所以(，1,0)，(0,2，2)，(，1,0)设平面A1BC的法向量为n
9、1(x1，y1，z1)，则即取x1，则y1z13，故n1(，3,3)设平面A1CD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即取x2，则y2z23，故n2(，3，3)所以cosn1，n2.由图形可知二面角BA1CD的大小为钝角，所以二面角BA1CD的余弦值为.2(变换条件、改变问法)本例四棱柱中，CBA60改为CBA90，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值解以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，E，D1(0,1,1)，F，(1,0,1)，(0,1,1)设平面AB1E的法向量为n1(x1
10、，y1，z1)，则即令y12，则x11，z11，所以n1(1,2,1)设平面AD1F的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令x22，则y21，z21.所以n2(2，1,1)所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为.规律方法利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角，cos .(4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为.提醒：确定平
11、面的法向量是关键.空间中的翻折与探索性问题如图3235所示，在梯形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EFAB.将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC.图3235(1)若BE3，在线段AD上取一点P，使APPD，求证：CP平面ABEF；(2)若平面ABEF平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小. 【导学号：33242308】解(1)在梯形ABCD中，ADBC，EFAB，BE3，AF3.又AD6，BC4，EC1，FD3，在线段AF上取点Q，使AQQF，连接PQ，QE，APPD，P
12、QDF，CEDF，CEPQ，四边形ECPQ为平行四边形，CPEQ，CP平面ABEF，EQ平面ABEF，CP平面ABEF.(2)在梯形ABCD中，ABAD，ABEF，EFAF，EFFD，平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，AF平面ABEF，AF平面EFDC.设FAx(0x4)，EFAB2，FD6x，EC4x，FC，线段FA，FC，FD的长成等比数列，FC2FAFD，即4(4x)2x(6x)，化简得x27x100，x2或x5(舍去)以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(2,2,0)，
13、A(0,0,2)，(0,2,0)，(2,0,2)，设n1(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，则，即，取z11，则x11，y10，平面EAC的一个法向量为n1(1,0,1)又(2,2,0)，(0,0,2)，设n2(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，则，即，取x21，则y21，z20，平面ACF的一个法向量为n2(1，1,0)cosn1，n2.平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，平面EAC和平面ACF的夹角为60.规律方法1与空间角有关的翻折问题与最值问题的解法(1)翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题(2)三视图问题：关于三视图问题，关键是通
14、过三视图观察直观图中的对应线段的长度2关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理跟踪训练2如图3236所示，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.图3236(1)求证：ABPD.(2)若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值解(1)ABCD为矩形，故ABAD；又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面
15、PAD，故ABPD.(2)过点P作POAD于点O，则PO平面ABCD，过点O作OMBC于点M，连接PM.则PMBC，因为BPC90，PB，PC2，所以BC，PM，设ABt，则在RtPOM中，PO，所以VPABCDt，所以当t2，即t时，VPABCD最大为.如图，此时POAB，且PO，OA，OM两两垂直，以OA，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P，D，C，B.所以，.设平面PCD的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则m(1,0，2)，|m|；同理设平面PBC的一个法向量n(x2，y2，z2)，即令y21，则n(0,1,1)，|n|，设平面PBC与平面D
16、PC夹角为，显然为锐角，且cos .当 堂 达 标固 双 基1如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A相等B互补C相等或互补D不能确定C由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补2在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值为() 【导学号：33242309】A. BC. DC易知A1BA为二面角A1 BCA的平面角，cosA1BA.3若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值等于_设直线l与平面所成角为，则sin |cosa，n|.4在正方体ABCDA1B1C1D1
17、中，二面角A1BDC1的余弦值是_如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，(1,0,1)，(1,1,0)设n(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则即令x1，则y1，z1，n(1，1，1)同理，求得平面BC1D的一个法向量m(1，1,1)，则cosm，n，所以二面角A1BDC1的余弦值为.5如图3237所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值【导学号：33242310】图3237解如图，取B1C1的中点O1，BC的中点O，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)设平面A1BD的法向量为n1(x，y，z)，则n10且n10，由此得令x1，得，y2，z，故平面A1BD的一个法向量为n1(1,2，)设平面A1AD的法向量为n2(a，b，c)，(1,1，)，(0,2,0)，由n20且n20得令c，得a3，故n2(3,0，)为平面A1AD的一个法向量因此cosn1，n2.由于点B在半平面A1AD内的射影在线段AC上，故二面角A A1DB的平面角是锐角，故所求的二面角的余弦值是.
