1、2016 年全国考数学压轴题的分析与解2016 年 6 8 录12016 年北京卷理科数学222016 年北京卷科数学7112016 年北京卷理科数学212016 年北京卷理科数学试卷点评今年的北京卷延续了去年的命题风格：与实际活相联系的选择题第 8 题，考查函数的图象与性质的填空第 14 题今年的解析何题和导数题去年难度都有所下降，创新题的难度则略微提升，总的来说是稳中有降值得注意的是理科的第 8 题，科的第 8 题和第 14 题看似简单，但是对思维僵化、对应数学知识(尤其是逻辑知识)解决实际问题的能有所缺的学将造成不的障碍题(理 8).袋中装有偶数个球，其中红球、球各占半甲、丙是三个空盒每
2、次从袋中任意取出两个球，将其中个球放甲盒，如果这个球是红球，就将另个球放盒，否则就放丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放盒中，则()A.盒中球不多于丙盒中球B.盒中红球与丙盒中球样多C.盒中红球不多于丙盒中红球D.盒中球与丙盒中红球样多解每次操作只有可能发下列 4 种情形中的种：1.甲盒中放红球，盒中放球；2.甲盒中放球，丙盒中放红球；3.甲盒中放红球，盒中放红球；4.甲盒中放球，丙盒中放球由于袋中的红球和球样多，因此情形 3 和情形 4 出现的次数必然样多，于是可得盒中红球与丙盒中球样多，选 B只发情形 1 即为选项 A,D 的反例，只发情形 2 即为选项 C 的反例12016 年北京卷理
3、科数学3题(理 14).设函数 f(x)=x3 3x,x a,2x,x a.(1)若 a=0，则 f(x)的最值为；(2)若 f(x)最值，则实数 a 的取值范围是解利函数图象解决问题令 g(x)=x3 3x,x R，则g(x)=3(x+1)(x 1),故 g(x)在 x=1 处取得极值 g(1)=2，在 x=1 处取得极值 g(1)=2 令 h(x)=2x,x R，则 h(x)的图象经过点(1,2),(1,2)函数 g(x)与 h(x)的图象如下图所，从中即可得出此题的结果(1)2；(2)(,1)Oy=x3 3xy=2xxy121212016 年北京卷理科数学4题(理 18).设函数 f(x
4、)=xeax+bx，曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线程为 y=(e 1)x+4(1)求 a,b 的值；(2)求 f(x)的单调区间分析 第(1)小题是典型的利用导函数求函数的切线程的问题；第(2)小题是简单的利用导函数研究函数的单调性的问题解(1)函数 f(x)的导函数f(x)=eax(1 x)+b,因此根据题意有f(2)=2(e 1)+4,f(2)=e 1,解得a=2,b=e.(2)由(1)可知，f(x)=xe2x+ex,f(x)=e(1 x)e1x+1.考察函数 g(x)=xex+1,x R，由于g(x)=ex(x+1),故 g(x)的最值为g(1)=1 1e 0,由此可知 f
5、(x)0 所以 f(x)在 R 上单调递增12016 年北京卷理科数学5题(理 19).已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离率为32，A(a,0),B(0,b),O(0,0)，OAB 的积为 1(1)求椭圆 C 的程；(2)设 P 是椭圆 C 上点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N 求证：|AN|BM|为定值分析 第(1)小题考查椭圆的基本量；第(2)小题考查基本的利用代数法研究何的能解根据题意画出意图如图ONMPxyBA(1)根据椭圆 C 的离率为32可得 a2=4b2，又 OAB 的积 12ab=1，于是可得 a=2，b=1，因此椭圆 C
6、 的程为x24+y2=1.(2)设 P 点坐标为(2 cos,sin)，可求得 M 点坐标为0,sin 1 cos，N 点坐标为 2 cos 1 sin,0，故|AN|BM|=2 cos 1 sin 2 sin 1 cos 1=2(sin +cos 1)2(1 sin)(1 cos)=4.12016 年北京卷理科数学6题(理 20).设数列 A:a1,a2,aN(N 2)如果对于 n(2 n N)的每个正整数 k 都有 ak a1，则 G(A)=；(3)证明：若数列 A 满 an an1 1(n=2,3,N)，则 G(A)的元素个数不于 aN a1 分析 第(1)小题是为了让解题者熟悉“G 时
7、刻”所作的铺垫；第(2)小题提示解题者将具体的“G 时刻”设出，然后利用其定义解决问题，考查了最值原理第(3)小题中结论的形式 aN a1 提示我们去寻找类似于“裂项”的结构解(1)G(A)=2,5(2)若数列 A 中存在 an 使得 an a1，不妨假设 ak(2 k N)是 a2,a3,aN 中第个于 a1 的数，则对于 k 的每个正整数 i 都有 ai ak，所以 k G(A)，故 G(A)=(3)(i)若 G(A)=，则由第(2)题可知，aN a1，此时结论成(ii)若 G(A)=，设 G(A)=i1,i2,ik，其中 ij 2,3,N,j=1,2,k 不妨设 i1 i2 a1 ai1
8、1，所以ai1 a1 ai1 ai11 1,同理，ai2 ai1 ai21，所以ai2 ai1 ai2 ai21 1,以此类推，我们有ai1 a1 ai1 ai11 1,ai2 ai1 ai2 ai21 1,aik aik1 aik aik1 1.将以上各式叠加，我们得到aN a1 aik a1 k,故此时结论也成综合(i)(ii)可知，若数列 A 满 an an1 1(n=2,3,N)，则 G(A)的元素个数不于 aN a1 22016 年北京卷科数学722016 年北京卷科数学题(8).某学校运动会的定跳远和 30 秒跳绳两个单项赛分成预赛和决赛两个阶段下表为 10 名学的预赛成绩，其中有
9、三个数据模糊学序号12345678910定跳远(单位：)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030 秒跳绳(单位：次)63a7560637270a 1b65在这 10 名学中，进定跳远决赛的有 8，同时进定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6，则()A.2 号学进 30 秒跳绳决赛B.5 号学进 30 秒跳绳决赛C.8 号学进 30 秒跳绳决赛D.9 号学进 30 秒跳绳决赛解进定跳远决赛的 8 是 1 号到 8 号，他们的 30 秒跳绳成绩记为(3,75),(6,72),(7,70),(1,63),(5,63),(4,60),以及(2,a),(8,a
10、 1)注意到 30 秒跳绳的成绩中有两名学并列，因此进决赛的成绩线必然在 63 次以下(否则多只有 5 进决赛)，因此可以确定 5 号学必然进了 30 秒跳绳决赛，选 B22016 年北京卷科数学8题(14).某店统计了连续三天售出商品的种类情况：第天售出 19 种商品，第天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该店(1)第天售出但第天未售出的商品有种；(2)这三天售出的商品最少有种解如图，区域 I,II,III 表只在第、三天售出的商品；区域 IV,V,V I 表在第、天，第、三天，第，三天售出的商品；区域 V II 表三
11、天都售出的商品它们的数量分别为 xi(i=1,2,7)V IIIVV IVIIIIII(1)根据题意，有 x1+x4+x6+x7=19，x4+x7=3，因此 x1+x6=19 3=16(2)根据容斥原理，这三天售出的商品总数为19+13+18 (3+4+x6+x7)+x7=43 x6,x5+x7=4，因此 x6 18 4=14，因此这三天售出的商品总数最少有 29 种种符合题意的填法是(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(2,9,0,0,1,14,3).22016 年北京卷科数学9题(19).已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 过 A(2,0),B(0,1)两点(1)求椭圆 C 的
12、程及离率；(2)设 P 为第三象限内点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的积为定值分析 第(1)小题考查椭圆的程与基本量；第(2)小题与理科的第(2)小题基本致，参考理科第 19 题的第(2)小题解(1)根据题意，有 a=2，b=1，于是椭圆的程为x24+y2=1,其离率 e=32(2)四边形 ABNM 的积 S=12|AN|BM|NMPBAOxy设 P 点坐标为(2 cos,sin)，其中 ,32，可求得 M 点坐标为0,sin 1 cos，N 点坐标为 2 cos 1 sin,0，故|AN|BM|=2 cos 1
13、sin 2 sin 1 cos 1=2(sin +cos 1)2(1 sin)(1 cos)=4.因此四边形 ABNM 的积 S=12|AN|BM|=2 为定值22016 年北京卷科数学10题(20).设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线程；(2)设 a=b=4，若函数 f(x)有三个不同零点，求 c 的取值范围；(3)求证：a2 3b 0 是 f(x)有三个不同零点的必要不充分条件分析 第(1)小题是基本的利用导函数求曲线的切线程的问题；第(2)小题是利用导函数研究函数的零点的问题，可以分离变量以简化问题；第(3)小题是在第(2)小题的
14、基础上进的点点延伸解(1)函数 f(x)的导函数f(x)=3x2+2ax+b,于是 f(0)=c，f(0)=b，因此曲线 y=f(x)在(0,f(0)处的切线程为 y=bx+c(2)函数 f(x)的零点即程x3+4x2+4x=c的实数根，令 g(x)=x3+4x2+4x，则其导函数g(x)=3x2+8x+4=(3x+2)(x+2),于是函数 g(x)在(,2)上单调递增，在2,23上单调递减，在23,+上单调递增，其极值为 g(2)=0，极值为 g23=3227 依题意，函数 y=g(x)与 y=c 有三个不同的公共点，因此3227 c 0,解得 0 c 0,从 a2 3b 0 充分性取 a=0，b=3，c=3，则函数 f(x)=x3 3x+3，其导函数f(x)=3(x+1)(x 1),于是其极值为 f(1)=5，其极值为 f(1)=1，因此函数 f(x)只有 1 个零点22016 年北京卷科数学11综上所述，a2 3b 0 是 f(x)有三个不同零点的必要不充分条件
