1、典题精讲1.由函数ysinx的图像经过怎样的变换得到函数ysin(x)（0）的图像？剖析：由ysinx的图像变换出ysin(x)的图像一般有两个途径.途径一：先相位变换，再周期变换先将ysinx的图像向左(0)或向右（0）平移个单位；再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得ysin(x)的图像.途径二：先周期变换，再相位变换先将ysinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）；再将得到的图像沿x轴向左(0)或向右（0）平移个单位，便得ysin(x)的图像. 疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x轴平移的单位长度不同？其突破口是化归到由函数y=f(x)的图像经过怎样的
2、变换得到函数y=f(x+)的图像.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换. 若按途径一有：先将y=f(x)的图像向左(0)或向右（0）平移个单位，得函数y=f(x+)的图像；再将函数y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=f(x+）的图像. 若按途径二有：先将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数y=f(x)的图像；再将函数y=f(x)的图像上各点沿x轴向左(0)或向右（0）平移个单位，得y=f(x+）的图像. 若将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(0)，得函数y=f(x)的图像；再将函数y=f(x)的图像上各点沿x轴向左
3、(0)或向右（0）平移|个单位，得到y=f(x+)的图像，即函数y=f(x+)的图像，而不是函数y=f(x+)的图像.例如：由函数ysinx的图像经过怎样的变换得到函数ysin(2x)的图像？方法1：（先相位变换，再周期变换）先将ysinx的图像向左平移个单位得函数ysin(x)；再将函数ysin(x)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得ysin(2x)的图像.方法2：（先周期变换，再相位变换）先将f(x)=sinx的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数f(x)=sin2x的图像；再将函数f(2x)=sin2x的图像上各点沿x轴向左平移个单位，得f2(x+)=sin2(x
4、+)的图像，即函数y=sin(2x+)的图像.在方法2中，得到函数f(2x)=sin2x的图像后，如果把f(2x)=sin2x图像沿x轴向左平移个单位，得f2（x+)=sin2(x+)的图像，即函数y=sin(2x+)的图像，而不是函数ysin(2x)的图像.由以上可见，利用变换法作yAsin(x)的图像时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一.例如：(2006江苏高考卷，4)为了得到函数y=2sin(+),xR的图像，只需把函数y=2sinx,xR的图像上所有的点（ ）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐
5、标不变）B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路解析：先将y=2sinx,xR的图像向左平移个单位长度，得到函数y=2sin(x+),xR的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin(+),xR的图像.答案：C2.如何求型如y=Asin(x+)+b(0)函数的单调递增区间?以y=2sin(-2x)+1为例说明.剖析：复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(
6、x)的增减性相同(相反)，则y=fg(x)是增(减)函数，可概括为“同增异减”.函数y=2sin(-2x)+1的定义域是R.函数y=2sin(-2x)+1是复合函数，y=f(u)2u+1，u=sin(-2x).则要求函数y=2sin(-2x)+1的单调递增区间，需求u=sin(-2x)的单调递增区间.函数u=sin(-2x)又是复合函数，u=sint，t=-2x.则要求函数u=sin(-2x)的单调递增区间，需求函数u=sint的单调递减区间.则正确的解法是：令2k+-2x2k+(kZ)，2k+-2x2k+- (kZ).x,即-k-x-k-.函数的单调递增区间是-k-,-k-（kZ）. 由此可
7、见原解法求出的区间是函数的单调递减区间.原解法的错误是求复合函数的单调区间时，错误地判断了构成复合函数的内层函数的单调性. 综上所得,在求函数y=Asin(x+)+b的单调区间时，一定注意其中的参数A和的符号，特别是当A和是负数时，容易出错，其突破口是化归到如何求复合函数的单调区间，这样才不会出错，进而避免：看起来题会，做起来不对，出考场后悔.典题精讲例1已知函数y=3sin（x-），（1）用“五点法”画函数的图像；（2）说出此图像是由y=sinx的图像经过怎样的变换得到的；（3）求此函数的周期、振幅、初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.思路分析：五点法画函数y=3sin（x
8、-）的图像时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由x+0，2来确定对应x的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.解：（1）列表x-02xy030-30描点：在直角坐标系中描出下列各点（，0），（，3），（，0），（，-1），（，0）；连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到的所求函数的图像如图1-7-1所示.图1-7-1这样就得到了函数y=3sin（x-）在一个周期内的图像，再将这部分向左或向右平移4k（kZ），得到函数y=3sin（x-）的图像.（2）方法一：（相位变换在周期变换的前面
9、）把y=sinx的图像上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x-）的图像；把y=sin（x-）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（-）的图像；将y=sin（x-）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x-）的图像.方法二：（周期变换在平移变换的前面）把y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x）的图像；把y=sin（x）的图像上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x-）=sin（-）的图像；将y=sin（x-）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3
10、sin（x-）的图像.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-.（4）令x-=+k，解得x=+2k，kZ，即函数的对称轴是直线x=+2k(kZ).令x-=k，解得x=2k+，kZ，即对称中心为（+2k，0）(kZ).令-+2kx-+2k，解得-+4kx+4k，kZ.即函数的单调递增区间为-+4k，+4k（kZ）.绿色通道：（1）对于函数y=Asin（x+），应明确A、决定“形变”，决定“位变”，A影响值域，影响周期，A、影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x的变化，向左或向右平移个单位；(2)画y=Asin（x+）的图像常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般
11、方法是：先将函数转化为y=Asin(x+)的形式，再利用公式T=进行求周期，有时还利用图像法求周期；对于函数y=Asin（x+）+B的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把x+看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx来讨论，问题自然就迎刃而解.变式训练1(2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sinx(0)在区间-,上的最小值是-2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3思路解析：方法一：根据函数f(x)=2sinx(0)图像的大致位置,得,又T=，所以有23，即.方法二：（代入验证法）当时，f(x)=2sin(x)，画图像得在区间-, 上的最小值是f(-)=2sin()-
12、2，故排除A；当时，f(x)=2sin(x)，画图像得在区间-, 上的最小值是f(-)=-2，故排除C、D.答案：B变式训练2(2005天津高考卷，文8)要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的（ ）A.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度思路解析：由于y=cosx=(x+)，则将函数y=2sin(2x+)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来
13、的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x+)的图像；再将函数y=sin（x+)的图像向左平行移动个单位长度得到函数y=sin(x+),即函数y=cosx的图像.答案：C变式训练3(2005全国高考卷，理17)设函数f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=.（1）求；（2）求函数y=f(x)的单调增区间；（3）画出函数y=f(x)在区间0,上的图像.思路分析：正弦型函数y=Asin(x+)的图像与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值.解：（1）x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2+)=1.+=k+,kZ.=k+,kZ.-0，-k+0.k.k=-1.=
14、-.（2）由（1）知y=sin(2x-).令2k-2x-2k+,kZ,k+xk+,kZ,即函数y=sin(2x-)的单调递增区间是k+,k+(kZ).（3）由y=sin(2x-)知：x0y-1010故函数y=f(x)在区间0,上的图像如图1-7-2所示.图1-7-2例2(2005福建高考卷，理6)函数y=sin(x+)(xR,0,02)的部分图像如图1-7-3，则（ ）图1-7-3A.=,= B.=,= C.=,= D.=,=思路解析：由图像得T=4(3-1)，T=8.=.点(1,1)在函数图像上，则有1=sin(+)，02.+.=.答案：C绿色通道：已知f(x)=Asin(x+)(A0,0)
15、的一段图像,求其表达式，其步骤：(1)求A：图像最上方的点的纵坐标为A的值，或图像最下方的点的纵坐标的相反数为A的值.(2)求：一般由图像可知周期T,如相邻两个对称中心（或对称轴）的距离为半个周期.再由T=求出.(3)求：确定时,若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标x0,则令x+=0(或x+=)即可求出.有时还可利用已知点(例如最高点或最低点)确定与.若对A、的符号或对的范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求.变式训练已知函数y=Asin(x+）（A0,0,|)的图像的一个最高点为(2,)，由这个最高点到相邻最低点的图像与x轴的交点为(6,0)，试求这个函数的解
16、析式.思路分析：抓住函数y=Asin(x+）的图像的特征是解本题的关键.解：已知图像最高点为（2，），A=.又根据题意知从最高点到相邻最低点的图像与x轴的交点为(6,0)，=6-2=4，即T=16.=.将y=sin(x+)代入最高点坐标，得=sin(2+).sin(+)=1.|,=.函数的解析式为y=sin(x+).问题探究问题试探讨如何求三角函数的周期？导思：思路1：从定义上分析；思路2：从周期函数的图像上分析；思路3：利用常见的结论.探究：确定三角函数的周期有如下方法：（1）定义法：根据周期函数的定义求周期.关键是找到一个实数T，使得对任意实数x，总有f(x+T)=f(x)成立.例如：求函
17、数y=2sin(-）的周期.解：f(x+4)=2sin(x+4)-=2sin(+2-)=2sin(-)=f(x),y=2sin(-)的周期是4.定义法是求周期的通性通法，带有一定的普遍性.（2）图像法：画出三角函数的图像，如果图像每隔“一段”就重复出现，则这一段就是一个周期.这种求函数周期的方法称为图像法.例如：求函数y=|sin2x|的周期.解：画函数y=|sin2x|的图像，如图1-7-4所示.图1-7-4函数y=|sin2x|的图像每隔就重复出现，则函数y=|sin2x|的周期是.利用图像法可得如下结论：(A0,0)函数y=|Asin(x+）|的周期是；函数y=|Acos(x+）|的周期是；函数y=|Atan(x+）|的周期是.（3）公式法：利用常见的公式（结论），求得三角函数的周期.这种求三角函数周期的方法称为公式法.常见的结论：一般地，函数y=Asin(x+)（其中A、为常数，A0，0）的周期T=.如y=2sin(2x+)的周期T=.一般地，函数y=Acos(x+)（其中A、为常数，A0，0）的周期T=.如y=-2cos(3x+)周期T=.一般地，函数y=Atan(x+)（其中A、为常数，A0，0）的周期T=.如y=-2tan(4x+)周期T=.这三种求周期的方法在高考试题中都经常出现，应引起我们的重视.
