1、章末分层突破自我校对含绝对值的不等式比较法综合法和分析法反证法和放缩法 基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值.在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.(1)求函数yx2(15x)的最大值；(2)已知a，b，c(0，)，abc1，求y的最小值.【精彩点拨】根据条件，发现定值，利用基本不等式求最值.【规范解答】(1)yx2xx.0x，2x0，y.当且仅当xx2x，即x时，上式取等号.因此ymax.(2)y(abc)3，而6，当且仅当abc时取到等号，则y9，即y的最小值为9.再练一
2、题1.(湖南高考)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾.故a2a2与b2bg(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3.零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转
3、化为不含绝对值的不等式去解.解下列关于x的不等式：(1)|xx22|x23x4；(2)|x2|2x5|2x.【精彩点拨】去掉绝对值号，转化为没有绝对值的不等式求解.(1)xx22x2x20；(2)通过分类讨论去掉绝对值.【规范解答】法一：原不等式等价于xx22x23x4或xx22(x23x4)，解得1x3，原不等式的解集为x|x3.法二：|xx22|x2x2|x2x2，原不等式等价于x2x2x23x4x3.原不等式的解集为x|x3.(2)分段讨论：当x2x，解得x2x，解得x2时，原不等式变形为x22x52x，解得x2a22b20.从而(3a22b2)(ab)0，故3a32b33a2b2ab2
4、成立.再练一题3.设实数a，b，c满足等式bc64a3a2，cb44aa2，试确定a，b，c的大小关系.【解】由cb(a2)20，知cb.又，得ba21，baa2a10，ba，故cba.2.综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因寻果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.已知a，b，c均为正数，且互不相等，又abc1.求证：.【精彩点拨】本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右
5、证明，也可从右到左证明.由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向，左端含有根号，脱去根号可通过实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可.【规范解答】法一：a，b，c是不等正数，且abc1，.法二：a，b，c是不等正数，且abc1，bccaab.再练一题4.已知a0，a22abc20且bca2，试证明：bc.【证明】a22abc20，a2c22ab.又a2c22ac，且a0，2ab2ac，bc.若bc，由a22abc20，得a22abb20，ab.从而abc，这与bca2矛盾.从而bc.设a，b，c均为大于1的正数，且ab10.求证：logaclogbc4lg c
6、.【精彩点拨】本题采用综合法比较困难，可采用分析式法转化为同底的对数寻找方法.【规范解答】由于a1，b1，故要证明logaclogbc4lg c，只要证明4lg c.又c1，故lg c0，所以只要证4，即4，因ab10，故lg alg b1，只要证明4.(*)由a1，b1，故lg a0，lg b0，所以0lg alg b，即(*)式成立.所以，原不等式logaclogbc4lg c得证.再练一题5.已知a0，b0，且ab1，求证：2.【证明】要证2，只要证4，即证ab124.只要证1，也就是要证ab(ab)1，即证ab.a0，b0，ab1.1ab2，ab，即上式成立.故2.3.反证法和放缩法证
7、明不等式证明不等式除了三种基本方法，还可运用反证法，放缩法等，若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明，若不等式较复杂，可将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明目的.若a，b，c，x，y，z均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于0.【精彩点拨】在题目中含有“至少”“至多”“最多”以及否定性的结论时，用直接法证明比较困难，往往采取反证法.【规范解答】假设a，b，c都不大于0，则a0，b0，c0，abc0，由题设知，abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0，这与ab
8、c0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.再练一题6.已知f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负数根.【证明】假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立.故方程f(x)0没有负数根.求证：13.【精彩点拨】不等式比较复杂，亦采用放缩法，由(n是大于2的自然数)，然后把各项求和.【规范解答】由(n是大于2的自然数)，得111133.再练一题7.设x0，y0，z0，求证：xyz.【证明】x，z，由得，xyz.转化与化归数学思想等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断地转
9、化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题.在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转换，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想.若不等式|x3|x7|a23a的解集为R，求实数a的取值范围.【精彩点拨】由不等式的解集为R，可知对xR，都有|x3|x7|a23a成立，(|x3|x7|)mina23a，从而得出a的不等式求解.【规范解答】原不等式的解集为R，xR，都有|x3|x7|a23a，(|x3|x7|)mina23a.|x3|x7|(x3)(x7)|10，a23a10，解得2a5.实数a的取值范围是2,5.再练一题8.已知f(x)|ax1|
10、(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1.(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围.【解】(1)由|ax1|3，得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意.当a0时，x，得a2.(2)法一：记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范围是k1.法二：|2x1|2|x1|21，由k恒成立，可知k1.所以k的取值范围是k1.1.不等式|x1|x5|2的解集是()A.(，4)B.(，1)C.(1,4)D.(1,5)【解析】当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4
11、.当x5时，原不等式可化为x1(x5)1时，f(x)作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)5，即a15，a4.同理，当a1时，a15，a6.【答案】6或43.设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.【证明】因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|1的解集.图11【解】(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.所以|f(x)|1的解集为.5.已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围.【解】(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3.(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解.当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).
