1、 高三二轮函数图像与零点（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握函数图像函数零点一、 函数图像【知识点】函数的图像和性质指数函数图像： 图象(1)定义域：(1)定义域：值域(2)值域： (2)值域： (3)过定点： (3)过定点：(4)在上是增函数.(4)在上是减函数(5)(5)同时，一定需要指出“指数爆炸”这样一个东西，告知指数函数是咱们接触到变化最快的函数。一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有.对数函数图像：图像性质（1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在
2、上是增函数（1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是减函数同时，一定需要指出对数函数是咱们接触到变化最慢的函数。一般地，对数函数和幂函数，在区间上，随着的增大，增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定变化范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有.幂函数图像：当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是减函数，幂函数的图像恒过点.函数图像的基本变换：平移变换函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；函数的图像是把函数的图
3、像沿轴向上平移个单位得到的；函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；左加右减，上加下减对称变换i:函数与函数的图像关于轴对称； ii:函数与函数的图像关于轴对称；iii: 函数与函数的图像关于坐标原点对称；的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b）所示的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像，即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出
4、轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.反函数：（可简单理解为自变量与因变量互换位置）函数称为的反函数，这两个函数图像关于对称。伸缩变换的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.【例题讲解】1.函数图像的平移伸缩变换例题1将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则等于ABCD练习1将函数的图象按向量平移得到图象，再作出关于对称的图象，则的解析式为ABCD例题2已知定义在区间上的函数的图象如图所示，则的图象为ABCD练习1已知定义在区间，上的函数的图象如图所示，则的图象为ABCD例题3在同一直角坐标系
5、中，函数，的图象可能是ABCD练习1当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）练习2已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） B. C. D. 例题4已知图中的图象对应的函数，则图中的图象对应的函数是ABCD练习1已知如图对应的函数为，则右图对应的函数为ABCD练习2已知函数在的图像如下，则的图像是 例题5已知函数为常数），若在区间，上不是单调函数，则的取值范围是练习1已知函数为常数）在区间上是增函数，则的取值范围是练习2已知函数为常数）若在区间，上是增函数，则的取值范围是【题型知识点总结】1.函数图像的变换：如果存在左右平移及拉伸变换，我们一般选择先平移再拉伸压缩.2.平移
6、口诀：左加右减 上加下减 重点注意左加右减只在上加减3.灵活运用排除法4.熟练掌握函数图像的变换，并会画复杂函数图像草图；2.已知解析式选函数图像例题1函数的图象为ABCD练习1函数的大致图象是ABCD练习2函数的大致图象为ABCD练习3函数的部分图象大致为ABCD【题型知识点总结】本类已知函数解析式选择函数图像类的题目多从以下几个方面考虑：函数定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、趋近值等，常用函数奇偶性和特殊值用排除法做这类题目。3.已知点运动轨迹选函数图像例题1如图所示，点从点处出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当、三点共线时，
7、记面积为，则函数的图象大致为A BC D练习1如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系分别记为，定义函数，对于函数，下列结论正确的个数是（4）；函数的图象关于直线对称；函数值域为；函数增区间为A1B2C3D4练习2年1月丰台期末如图某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形开机后它从点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变次运动方向（假设按此方式无限运动下去）运动过程中随时记录逆时针运动的总路程和顺时针运动的总路程为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时，顺时针运动时机器人到点的距离与满足函数关系现有
8、如下结论：的值域为；是以3为周期的函数；是定义在上的奇函数：在区间产上单调递增其中正确的有（写出所有正确结论的编号）【题型知识点总结】本类题目主要考察分段函数及分类讨论思想二、 函数零点【知识点】函数零点知识回顾：1.零点定义及零点存在定理：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.强调：零点不是点，而是对应方程的根，是函数图像与轴交点的横坐标。零点存在定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，么函数在区间内有零点，即存在，使得，也就是方程的根；零点存在定理（唯一性定理）：如果函数在区间上的图像是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得,也就是方程的
9、根.2.二分法找函数零点范围：二分法：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.用二分法求函数零点近似值的步骤：（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若,则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度，即若则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）到（4）步.但是在高考考查中一般大题不会考到二分法求解函数零点，在选择题中只需检验连续函数在定区间端点异号即可。3.方程的根与函数零点的关系：方程有实数
10、根函数的图像与轴有公共点函数有零点.方程有实数根函数的图像与的图像有公共点函数有零点.所以，若需要找超越函数零点，最简洁的方式就是将函数拆分成两个简单函数，寻找两个函数图像交点即可。【例题讲解】1.零点存在性定理判断函数零点位置例题1函数的零点所在的区间是ABCD练习1函数的零点所在的区间为ABCD练习2若是方程式的解，则属于区间（ ）A. B. C. D.例题2函数在区间，上恰有一个零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，练习1若函数的导函数在区间上有零点，则在下列区间上单调递增的是A，BCD练习2函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数的取值范围是ABCD或题型知识点总结：1.根据已知函
11、数解析式判断函数零点位置：根据函数的零点及零点存在性定理，关键是将区间的端点值逐个代入函数的解析式中，看函数的两个值是否异号，若异号，则函数在此开区间内至少有一个零点2.已知函数的零点大概位置求参数范围：根据函数的零点及零点存在性定理，关键是将区间的端点值逐个代入函数的解析式中，令函数的两个值的积小于0，解不等式取交集得参数范围。2.求零点个数例题1已知函数满足，且当，时，函数，则函数在区间，上的零点的个数为A4B5C6D7练习1若函数满足，且时，则函数的零点个数（ ）A. B. C. D.练习2设函数满足，且当时，又函数，则函数在上的零点个数为（ ）A B C D3.已知零点个数求参数范围已
12、知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A，B，CD练习1已知函数，. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） B. C. D. 练习2已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有个零点，则的取值范围是 A B C D练习3已知偶函数对任意均满足，且当时，若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 练习4已知函数，若方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是ABCD例题2对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A BC D练习1对于实数和，定义运算“*”： ，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数
13、根，则的取值范围是_例题3若函数有两个不同的零点，则的取值范围 答案：练习1若函数有两个不同的零点，则的取值范围 练习2已知函数有唯一零点，则=( )A B C D例题4已知函数，若直线与函数的图象有三个交点、，它们的横坐标分别为，则的取值范围是ABCD练习1已知函数若直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标从小到大依次为则的取值范围是 4.复合函数的零点问题例题1设定义域为的函数，则关于的方程的个不同实数解时有（ ）A.且 B. 且 C. 且 D. 且练习1. 已知定义域为的函数,若关于的方程恰有个不同的实数解,则= .练习2已知，函数，若函数只有4个零点，则的取值范围为ABCD练习3 设
14、定义域为的函数，若关于的方程的个不同实数解，则 【题型知识点总结】1.函数求零点问题是建立在能够解决函数图像的基础上，运用函数图像解决问题，通常会将函数零点问题和方程进行转化，主要题型包括1、求零点个数问题2、根据零点求参数取值范围问题3、结合函数对称性求零点之和问题4、结合不等式的综合问题 主要运用的方法有数形结合，参变分离，换元法等2.抽象函数和符合函数零点问题属于综合性更强的题型，抽象函数和符合函数零点问题属于综合性更强的题型，可以结合函数图像的变换，可以结合函数图像性质，可以结合不等式，以及多次运用函数和方程相互转换3. 遇到复合函数零点问题换元之后作图分析，能够使题目变得更加清晰。以
15、及掌握对称以及函数图像性质便于更好的求解此类问题。【课后练习】【巩固练习】练习1. 若函数的单调递增区间是，则= .练习2.已知函数满足，且当，时，函数，则函数在区间，上的零点的个数为A9B10C11D12练习3已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，若求，（3）的值；练习4定义符合函数，设函数，其中，若（a），则实数的取值范围是AB，C，D，练习5已知函数满足，且，时，又，则函数在区间，上零点的个数为A2015B2016C2017D2018【拔高练习】练习1函数的大致图象是ABCD练习2函数的图象大致为ABCD练习3若把函数的图象按向量平移，得到函数的图象，则向量的坐标为练习4若函数满足，且当，时，函数，则函数在区间上的零点的个数是A5B6C7D8练习5已知，互不相同的正数，满足（a）（b）（c）（d），则的取值范围是ABCD练习6已知函数，则关于的方程的实数根的个数A7B6C3D2 20 / 20
