1、高二阶段性教学质量检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 椭圆的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将椭圆方程化标准形式，即可求出焦点坐标.【详解】由可得，因此，且焦点在轴上，所以焦点坐标为.故选：A.2. 过点且方向向量为的直线的方程为（ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量，确定直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果.【详解】因为所求直线的方向向量为，所以该直线的斜率为，又该直线过点，因此所求直线方程为，即.故选：C.3. 如图，在正方体中，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有，即可知所表示的向量.【详解】，而，故选：B4. 若直线平分圆的周长，则的值为（ ）A. 2B. 2C. 3D. 3【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，得到直线过圆心，进而可求出结果.【详解】因为直线平分圆的周长，所以直线过该圆的圆心，又圆的圆心坐标为，所以，
3、解得.故选：D.5. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.若重力加速度取，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等可构造方程求得结果.【详解】由题意知：根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，设每根绳子的拉力为，则，解得：（）.故选：B.6. 已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出图形，求出直线、的斜率，数形结合可得出
4、直线的斜率的取值范围，进而可求得直线的倾斜角的取值范围.【详解】如下图所示：直线的斜率为，直线的斜率为，由图形可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率.因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线、的斜率可得所要求的斜率的取值范围.7. 设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用垂直平分线的性质有，由结合线段的几何关系得，根据椭圆的定义即可写出点的轨迹方程.【详解】线段的垂直平分线交线段于点，而，又，即是到定点距离和
5、为定长6的动点，由椭圆第一定义知：且长轴在y轴上，故的轨迹方程为，故选：B8. 在一个平面上，机器人从与点的距离为5的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变.它在行进过程中到过点与的直线的最近距离为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】用截距式求直线的方程，求出圆心到直线的距离，再用此距离减去半径5，即为所求【详解】解：直线的方程为，即机器人的运行轨迹为一个圆，以为圆心，半径等于5，圆的方程为，圆心到直线的距离为，故点到直线的距离最小为，故选：二、选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线必过定点
6、（2，1）B. 直线在轴上的截距为2C. 直线的倾斜角为120D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为【答案】ACD【解析】【分析】代入点的坐标判断A，求出纵截距判断B，求出斜率得倾斜角，判断C，写出平移直线后的方程，与原方程一致，由此求得，判断D【详解】，所以点在直线上，A正确；对，令，得，直线在轴上截距为2，B错误；直线的斜率为，倾斜角为，C正确；设直线方程为，沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得，即它就是，所以，所以，D正确故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程，利用直线方程研究直线的性质是解析几何
7、的基本方法掌握直线的概念与特征是解题关键10. 如图，在长方体中，以直线，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则（ ）A. 点的坐标为B. 点关于点对称的点为C. 点关于直线对称的点为D. 点关于平面对称的点为【答案】BC【解析】【分析】根据题中条件，由空间直角坐标系，利用关于谁对称谁不变的原则，逐项判断，即可得出结果.【详解】根据题意知：点的坐标为，选项A错误；的坐标为，坐标为，故点关于点对称的点为，选项B正确；在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确；点关于平面对称的点为，选项D错；故选：BC.11. 若圆：与圆：的交点为，则（ ）A. 公共弦所在直
8、线方程为B. 线段中垂线方程为C. 公共弦的长为D. 在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆【答案】AD【解析】【分析】根据题意，依次分析选项：对于，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断，对于，有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断，对于，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断，对于，由于圆心在公共弦上，在过，两点的所有圆中，即可判断【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，圆与圆，联立两个圆的方程可得，即公共弦所在直线方程为，正确，对于，圆，其圆心为，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方
9、程，错误，对于，圆，即，其圆心为，半径，圆心，在公共弦上，则公共弦的长为，错误，对于，圆心，在公共弦上，在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，正确，故选：12. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，且轨道的右顶点为轨道的中心.设椭圆与的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 椭圆比椭圆更扁【答案】ABC【解析】【分析】由，得出正确；由，得到正确；由，得出离心率判断正确；求出，判断错误【详解】解：对于、由，
10、所以，所以选项正确；对于、由，得到：，所以选项正确；对于、由，得，即，所以选项正确；对于、根据选项知，所以，即椭圆比椭圆更扁些，选项错误故选：三、填空题：本题共4小题.13. 向量，若与共线，则_.【答案】4【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示求解【详解】由题意，解得则故答案为：414. 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，则其标准方程为_.【答案】或【解析】【分析】分别讨论椭圆焦点在轴和轴上两种情况，采用待定系数法，根据和椭圆过可求得结果.【详解】当椭圆焦点在轴时，设其方程为，长轴长是短轴长倍，又椭圆过，解得：，标准方程为；当椭圆焦点在轴时，设其方程为，长轴长是
11、短轴长的倍，又椭圆过，解得：，标准方程为；综上所述：所求椭圆的标准方程为或.故答案为：或.【点睛】易错点睛：采用待定系数法求解椭圆标准方程时，需注意椭圆焦点位置，若焦点位置不确定，需对焦点在轴和轴两种情况进行讨论.15. 已知圆：，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为_.【答案】2【解析】【分析】求得圆心的坐标，过作直线的对称点，设，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得的坐标，再由两点的斜率公式计算的斜率可得所求【详解】解：圆的圆心，如图过作直线的对称点，设，由，解得，即，连接，与相交于点，可得光线的入射光线，则入射光线的斜率为，故答案为：16. 某圆拱桥的水
12、面跨度为，拱高，此拱桥所在圆的半径为_；现有一船，宽，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过_.【答案】 (1). 13 (2). 7【解析】【分析】画出圆拱桥所在的圆，如图，水面跨度为，拱高，设圆半径为，由勾股定理列式可计算，船关于水面中心线对称，即图中中点是，只要求出的长度即得最高高度【详解】如图，圆拱桥所在圆圆心为，水面跨度为，拱高，设圆半径为，则，解得船宽，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高高度为，则，解得故答案为：13；7四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知直线过定点.（1）若直线与直线垂直，求直线的
13、方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据垂直关系，先确定直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果；（2）讨论直线过原点，和不过原点两种情况，根据题中条件，设出对应的方程，即可求出结果.【详解】（1）因为直线的斜率为，直线与直线垂直，直线的斜率为2，又直线经过点，直线的方程为，即；（2）当直线过原点时，设直线的方程为，直线过定点，即；直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线的方程为，即，直线过定点，直线方程为，即，综上，直线方程为或.18. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求直线到平面的距离；
14、（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，利用向量法证明向量平行得线线平行，从而有线面平行；（2）求出平面和平面的一个法向量，由法向量的夹角的余弦得二面角的余弦【详解】解：（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，则，.，.，平面，点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，取，则，又，点到平面的距离为.（2）设平面的法向量为，则，取，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值.【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角的余弦用向量法证明
15、线面平行有两种思路：（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（2）证明直线的方向向量与平面内的某条直线的方向向量共线19. 已知直线：和圆：.（1）若直线交圆于，两点，求弦的长；（2）求过点且与圆相切的直线方程.【答案】（1）2；（2）或.【解析】【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法求弦长，即可得出结果；（2）当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为，由圆的性质，列出方程求解，得出的值，即可求出直线方程.【详解】（1）将圆：化成标准方程：，圆的圆心为，半径.圆心到直线：的距离，弦长；（2）当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；当直
16、线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即.圆心到直线的距离为，即，解之得此时切线方程为，化简得.综上所述，所求的直线方程为：或.【点睛】方法点睛：求解圆的弦长问题的方法：（1）几何法：根据圆的性质，圆的半径的平方等于圆心到直线距离的平方与弦长一半的平方和，可得弦长为；（2）代数法：若斜率为的直线与圆交于，两点，求弦长时，可以联立直线与圆的方程，利用韦达定理，以及弦长公式，即可求解.20. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后
17、集中到另一个焦点.已知，.（1）试建立适当的坐标系，求截口所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由已知垂直及线段长度，应用勾股定理求，进而可求得、，写出椭圆方程即可.（2）由椭圆定义，根据结合勾股定理有可得，则即可求的面积.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设截口所在椭圆的方程为：，因为，所以在直角中，故，又，所以，所求的椭圆方程为.（2）点在椭圆上，又，即为直角三角形，有，即可得：，故的面积为：.【点睛】关键点点睛：（1）由已知线段垂直关系及线段长，结合勾股定理求相关线段长，再由椭圆定义
18、写出方程.（2）由90，应用勾股定理、椭圆第一定义得到方程组，进而得到，由三角形面积公式即可求面积.21. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）点在线段上，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先证明，两两互相垂直，然后以，分别为，轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由向量和的夹角的余弦得异面直线与所成角的余弦值；（2）设，求出平面的一个法向量，由与法向量的夹角余弦值的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值，求得【详解】解：（1）平面，且，平面，又，两两互相垂直.以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图：则由，可得
19、，又为的中点，.，所以，所以异面直线，所成角的余弦值为.（2）设，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，是平面的一个法向量.直线与平面所成角的正弦值为，解得，所以当为时，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间角的方法一般有两种：（1）根据空间角的定义作出平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角），并证明然后计算求解，这种方法考查学生的空间想象能力，运算求解能力；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角这种方法主要考查学生的运算求解能力22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点.（1）求的周长；（2）椭圆上是否存在
20、点，使得点到直线：的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根据椭圆方程可得长轴长，利用椭圆定义可求得结果；（2）假设存在点，则点为平行于直线的直线与椭圆的切点，假设切线方程为，与椭圆方程联立后利用可求得切线方程，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】（1）由椭圆：可知，椭圆的长轴长，由椭圆的定义可知，又直线过焦点交椭圆与，两点.的周长为：.（2）假设椭圆上存在点，使得点到直线：的距离最大，则点为平行于直线的直线与椭圆的切点.设与直线：平行且与椭圆相切的直线方程为：.联立，整理得：，直线与椭圆相切，解得：.当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最大，且此最大距离也是直线与直线之间的距离，此时直线的方程为，直线：与直线：的距离，椭圆上存在点，使得点到直线：的距离最大，最大距离为.【点睛】方法点睛：本题考查椭圆上点到直线距离的最值问题的求解，求解此类问题的基本方法是假设与已知直线平行的椭圆切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，利用可求得切线方程，利用平行直线间距离公式可求得所求最值.
