1、第一课数列核心速填1an与Sn的关系an2等差数列(1)通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.(2)前n项和公式：Snna1d.(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的等差中项，且有ab2A.(4)常用性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq；在等差数列an中，若k1，k2，kn，成等差数列，则a，a，a，也成等差数列；在等差数列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列(5)等差数列的判断定义式：an1and(d为常数)；等差中项：anan22an1；通项公式：andnb；前n项和：Snan2bn.3等比数列(1)通项公式：ana1qn1，
2、anamqnm.(2)前n项和公式：Sn(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项，且有G2ab或G.(4)等比数列的性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq；在等比数列an中，若k1，k2，kn，成等差数列，则a，a，a，也成等比数列；在等比数列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列(5)等比数列的判断：定义式：q(q为非零常数)；等比中项：anan2a；通项公式：anaqn(a，q为非零常数)；前n项和：SnAAqn(A为非零常数，q0且q1)4数列求和(1)公式法：已知数列若是等差数列或是等比数列，则按照等差或等比数列的前n项和公式求和(
3、2)分组求和法：一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，求这个数列的前n项和可用错位相减法(4)裂项相消法：把数列的各项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互拆消，从而求得其和体系构建通过前面的学习与核心知识的填写，请把本课的知识点以网络构建的形式展现出来题型探究等差、等比数列的判定记Sn为等比数列an的前n项和，已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q，由题设可得解
4、得q2，a12，故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n，由于Sn2Sn1(1)n2(1)n1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列规律方法判定一个数列是等差或等比数列的方法定义法an1and(常数)an是等差数列q(非零常数)an是等比数列中项公式法2an1anan2(nN)an是等差数列aanan2(an1anan20)an是等比数列通项公式法anpnq(p，q为常数)an是等差数列ancqn(c，q均为非零常数)an是等比数列前n项和公式SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列Snkqnk(k为常数，且q0，k0，q1)an是等比数列提醒在解答题中证
5、明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法，通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用跟踪训练1设Sn为数列an的前n项和，对任意的nN*，都有Sn2an，数列bn满足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式解(1)当n1时，a1S12a1，解得a11；当n2时，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，故数列an的通项公式为an.(2)因为a11，所以b12a12.因为bn，所以1，即1(n2)所以数列是首项为，公差为1的等差
6、数列所以(n1)1，故数列bn的通项公式为bn.数列通项公式的求法(1)若数列an是正项数列，且n23n(nN*)，则an_.(2)已知在数列an中，an1an(nN)，且a14，则数列an的通项公式an_. 【导学号：91022123】解析(1)因为n23n(nN*)，所以(n1)23(n1)(n2)，得n23n(n1)23(n1)2(n1)，所以an4(n1)2(n2)又12314，故a116，也满足式子an4(n1)2，故an4(n1)2.(2)由an1an，得，故，(n2)，以上式子累乘得，因为a14，所以an(n2)，因为a14满足上式，所以an.答案(1)4(n1)2(2)规律方法
7、数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an求解.(3)由递推式求数列通项法.对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.(4)待定系数法(构造法).求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想
8、，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.跟踪训练2(1)已知数列an满足a12，anan1n(n2，nN)，则an_.(2)已知数列an满足a12，an1a(an0，nN)，则an_.解析(1)由题意可知，a2a12，a3a23，anan1n(n2)，以上式子累加得，ana123n.因为a12，所以an2(23n)2(n2)因为a12满足上式，所以an.(2)因为数列an满足a12，an1a(an0，nN)，所以log2an12log2an，即2，又a12，所以log2a11，故数列log2an是首项为1，公比为2的等比数列，所以log2an2n1，即an2.答案(1)(n
9、2n2)(2)2数列求和的常用方法等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3. 【导学号：91022124】(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cnanbn，设数列cn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则由得解得an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由(1)可知cn(2n1)2n1，Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1，2Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n，得：Tn322122222n1(2n1)2n12222n(2n1)2n2n11(2n1)2n(1
10、2n)2n1，Tn(2n1)2n1.规律方法数列求和的常用方法(1)公式法.(2)分组求和法.(3)倒序求和法.(4)错位相减法.(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(6)并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.跟踪训练3设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)由(1)得Snna1dn(n2)，bn.T
11、nb1b2bn1bn. 用函数思想解决数列问题探究问题1若函数f(x)x2x在1，)上单调递增，则的取值范围是什么？解由于f(x)x2x是图像开口的向上的二次函数，要使其在1，)上单调递增，则需1.即2，故的取值范围是2，)2当x为何值时，函数f(x)有最小值？解 当x时，f(x)的最小值为f.3数列与其对应的函数有什么区别？解与数列对应的函数是一种定义域为正整数集(或它的前几个组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数(1)若数列an的通项公式为ann2n，且an是递增数列，则实数的取值范围是_. 【导学号：91022125】(2)设数列an，bn满足a1b16，a2b
12、24，a3b33，若an1an是等差数列，bn1bn是等比数列分别求出数列an，bn的通项公式；求数列an中最小项及最小项的值思路探究(1)利用an1an求解，或利用函数yx2x的图像求解；(2)根据等差、等比数列的通项公式求an，bn的通项公式，然后利用函数的思想求an的最小项及最小项的值(1)解析法一：an1an(n1)2(n1)(n2n)2n1，由于an是递增数列，故2n10恒成立，即2n1，又nN，2n13，故3.法二：由于函数yx2x在上单调递增，结合其图像可知，若数列an是递增数列，则a2a1，即2221，即3.答案(3，)(2)解a2a12，a3a21，由an1an成等差数列知其
13、公差为1，故an1an2(n1)1n3；b2b12，b3b21，由bn1bn成等比数列知，其公比为，故bn1bn2，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(2)162n8，bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b16223n.因为an，所以n3或n4时，an取到最小值，a3a43.母题探究：1.(变条件)把例4(2)中的数列an换为an，求其最小项和最大项解an1，当n9时，an1递减且小于1；当n9时，an1递减且大于1，所以a8最小，a9最大，且a8，a9.母题探究：2.(变结论)例4(2)的条件不变，求数列bn中最大项及最大项的值解由例4(2)的解析可知bn223n，易知数列bn是递减数列，所以当n1时，an取到最大值，a122316.规律方法函数思想在数列问题中的应用数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集1,2,3，n)的特殊函数运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列有n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题
