1、复旦大学附属中学2015学年第一学期高二数学期中考试试卷 2015.11考试时间：100分钟满分：120分请将所有答案写在答题纸上一、填空题（每题4分，共48分）1. 线性方程组的增广矩阵是_2. 计算矩阵乘积：_3. 直线的倾斜角_4. 直线与直线的距离是_5. 已知，为单位向量，当与的夹角为时，在方向上的投影是-2_6. 已知向量，若，则实数-1_7. 已知等比数列的首项，公比为，其前项和为记为，则函数的解析式为_8. 已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值为_9. 若光线经过点射到直线上，反射后经过点，则反射光线所在的直线方程为_10. 如图，在中，与交于点，若，则_
2、11. 作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内做新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为_12. 已知，设直线，其中，给出下列结论：直线的方向向量与向量共线；若，则直线与直线的夹角为；直线与直线（）一定平行；写出所有真命题的序号_二、选择题（每题4分，共16分）13. “”是“直线与直线垂直”的（ ）C（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件14. 设是定义在正整数集上的函数，且满足：对于定义域内任意的，若成立，则成立。则下列命题正确的是（ ）D（A）若成立，则对于任意，均有成立（B）若成立，则对于任意，均有成
3、立（C）若成立，则对于任意，均有成立（D）若成立，则对于任意，均有成立15. 以下向量中，可以作为直线的一个方向向量是（ ）D（A） （B） （C） （D）16. 已知点，若点在函数的图像上，则使得面积为2的点的个数为（ ）D（A）1（B）2（C）3（D）4三、解答题（共5题，共计56分）17. （10分）用行列式讨论下列关于的方程组的解的情况，并求出相应的解当时，有唯一解当时，无解 当时，有无穷多解，通解为。18. （10分）已知直线，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当和时对应的两条直线的夹角。（1）（2，1）（2）19. （12分）已知向量，且向量满足关系式：，其中。（1
4、）求证：；（2）试用表示，求的最大值，并求此时向量的夹角（1）（2）最大值，此时，夹角。20. （12分）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，。（1）若，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值（1）或（2）当时，最大，其最大值为。P20xyAP1P3P4 （第20题图） （第21题图）21. （12分）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是。由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）。（1）若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角；（3）若，求过点的直线的方程，使得原点到直线的距离最大（1）（2）（3）。
