1、教学设计8 函数y=Asin(x+)的图像整体设计教学分析 本节通过图像变换,揭示参数、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(x+)的图像与正弦曲线的关系,以及A、的物理意义,并通过图像的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点. 如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(x+)的图像呢?通过引导学生对函数ysinx到yAsin(x+)的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响
2、图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数、A的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点”作图法,正确找出函数ysinx到yAsin(x+)的图像变换规律,这也是本节课的重点所在. 由于本节是本章的一个难点,为了便于学生的理解和接受,在探究y=sinx与y=Asin(x+)的关系上,对A、对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.三维目标1.通过学生自主探究,理解对y=sin(x+)的图像的影响,对y=sin(x+)的图像的影响,A对y=Asin(x+
3、)的图像的影响.2.通过探究图像变换,会用图像变换法画出y=Asin(x+)图像的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(x+)的简图.3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(x+)图像的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=s
4、inx到y=Asin(x+)的图像的变换过程.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(x+)的函数(其中A、是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图像.揭示课题:函数y=Asin(x+)的图像.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(x+)存在着怎样的关系?从图像上看,函数y=sinx与函数y=Asin(x+)存在着怎样的关系?接下来,我们就分
5、别探索、A对y=Asin(x+)的图像的影响.推进新课新知探究提出问题观察交流电电流随时间变化的图像,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数、A对y=Asin(x+)的图像的影响？分别在y=sinx和y=sin(x+)的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,对图像有怎样的影响？对任取不同的值,作出y=sin(x+)的图像,看看与ysinx的图像是否有类似的关系？请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图像变换得到y=sin(x+)的图像.你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数对y=sin(x+)的图像的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为=
6、,从而使y=sin(x+)在变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令=2,=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图像,观察它们与y=sin(2x+)的图像之间的关系.可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图像上点的坐标和y=sinx的图像上点的坐标的关系,获得对y=sin(x+)的图像的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中
7、的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论,并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数、A对y=Asin(x+)的图像的影响,然后再整合.图1 问题,由学生作出取不同值时,函数y=sin(x+)的图像,并探究它与y=sinx的图像的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于对y=sin(x+)的图像影响的经验.为了研究的方便,不妨先取=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+)的图像上的点的横坐标总是等于
8、y=sinx的图像上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图像向左平移使之与y=sin(x+)的图像重合的过程,以加深学生对该图像变换的直观理解.再取=-,用同样的方法可以得到y=sinx的图像向右平移后与y=sin(x-)的图像重合. 如果再变换的值,类似的情况将不断出现,这时对y=sin(x+)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于对y=sin(
9、x+)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题,引导学生通过自己的研究认识对y=sin(x+)的图像的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+)(其中0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动|个单位长度而得到.如图2.图2 问题,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图像与y=sin(x+)的图像作比较,取点A、B观察.发现规律:图3如图3,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图像上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的
10、图像上对应点横坐标的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取=,让学生自己比较y=sin(x+)的图像与y=sin(x+)图像.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图像.当取为其他值时,观察相应的函数图像与y=sin(x+)的图像的关系,得出类似的结论.这时对y=sin(x+)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于对y=sin(x+)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论
11、一般化,归纳y=sin(x+)的图像与y=sin(x+)的图像之间的关系,得出结论: 函数y=sin(x+)的图像可以看作是把y=sin(x+)的图像上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.如图4.图4 问题,教师点拨学生,探索A对图像的影响的过程,与探索、对图像的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图像和y=sin(2x+)的图像之间的关系.如图5,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图像
12、上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图像上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图像,可以看作是把y=sin(2x+)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:图5 函数y=Asin(x+)(其中A0,0)的图像,可以看作是把y=sin(x+)上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(x+)的值域是-A,A,最大值是A,最小值是-A.如图6.图6 由此我们得到了参数、A对函数y=Asin(x+)(其
13、中A0,0)的图像变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(x+)(其中A0,0)的图像,可以看作用下面的方法得到:先画出函数ysinx的图像;再把正弦曲线向左(右)平移|个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(x+)的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(x+)的图像.教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图像变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数、A对函数图像影响的探究.教
14、师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.讨论结果:把从函数y=sinx的图像到函数y=Asin(x+)的图像的变换过程,分解为先分别考察参数、A对函数图像的影响,然后整合为对y=Asin(x+)的整体考察.略.图像左右平移,影响的是图像与x轴交点的位置关系.纵坐标不变,横坐标伸缩,影响了图像的形状.横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图像的形状.可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx的图像得y=Asinx的图像横得y=Asin(x)的图像得y=Asin(x+)的图像.规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sin
15、x的图像得y=sin(x+)的图像得y=sin(x+)的图像得y=Asin(x+)的图像.先伸缩后平移的步骤程序(见上).应用示例例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的-,A2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图像的过程:只需把ysinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin
16、(x-)的图像,如图7所示.图7(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-)简图的方法,教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为y=sinx方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为y=sinxy=2siny=方法三:(利用“五点法”作图作一个周期内的图像)令X=x-,则x=3(X+)
17、.列表:X02x25y020-20描点画图,如图8所示.图8点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图像变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=x+,再用方程思想由X取0, ,2来确定对应的x值.变式训练1.(2007山东威海一模统考,12)要得到函数y=sin(2x+)的图像,只需将函数y=sinx的图像( )A.向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
18、B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变D.向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变答案:C2.(2007山东菏泽一模统考,7)要得到函数y=2sin(3x-)的图像,只需将函数y2sin3x的图像( )A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案:D2.将y=sinx的图像怎样变换得到函数y=2sin(2x+)+1的图像?活动:可以用两种图像变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的.由y=sin2x的图像向左平移个单位长度得到的函数图像的解析式
19、是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+),把y=sin(x+)的图像的横坐标缩小到原来的,得到的函数图像的解析式是y=sin(2x+),而不是y=sin2(x+).解:方法一:把y=sinx的图像沿x轴向左平移个单位长度,得y=sin(x+)的图像；将所得图像的横坐标缩小到原来的,得y=sin(2x+)的图像；将所得图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(2x+)的图像；最后把所得图像沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图像.方法二:把y=sinx的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx的图像；将所得图像的横坐标缩小到原来的,得y=2sin2x的图像
20、；将所得图像沿x轴向左平移个单位长度,得y=2sin2(x+)的图像；最后把图像沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图像.点评:三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.变式训练1.将y=sin2x的图像怎样变换得到函数y=cos(2x-)的图像?解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-).在y=cos(2x-)中以x-a代x,有y=cos2(x-a)-=cos(2x-2a-).根据题意,有2x-2a-=2x-,得a=-.所以将y=sin2x的图像向左平移个单位长度可得到函数y=cos(
21、2x-)的图像.2.如何由函数y=3sin(2x+)的图像得到函数y=sinx的图像？解法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+)y=sin(x+) y=sinx.解法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2xy=sin2x y=sinx.3.(2007山东高考,4)要得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=cos(x-)的图像( )A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位答案:A知能训练课本本节练习1 1、2、3.课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为
22、学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(x+)的图像,并分别观察参数、A对函数图像变化的影响,同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换.作业1.用图像变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图像画出函数y=-sin(-2x)的图像.2.要得到函数y=cos(2x-)的图像,只需将函数y=sin2x的图像通过怎样的变换得到?3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.解答:1.y=-sin(-2x)=sin2x,作图过程:y=sinx2.y=cos(2x-)=sin+(2x-)
23、=sin(2x+)=sin2(x+),将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可.3.y=cos2x+1,将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的,再将所得曲线向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图像较多,学生活动量大,关键是理清字母、A对函数及图像变化的影响.因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数、A对函y=Asin(x+)图像整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育求学生去主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.2.对于函数y=sinx的图像与函数y=Asin(x+)的图像间的变换
24、,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.(设计者:张云全)第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数、A对函数y=Asin(x+)的图像的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(x+)(其中A0,0,0)的图像变换及其物理背
25、景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时地点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.推进新课新知探究提出问题在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(x+)的图像时,列表中最关键的步骤是什么？(1)把函数ysin2x的图像向_平移_个单位长度得到函数ysin(2x)的图像；(2)把函数ysin3x的图像向_平移_个单位长度得到函数ysin(3x)的图像；(3)如何由函数ysinx的图像通过变换得到函数ysin(2x+)的图像？将函数y=f(x)的图像
26、上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图像,试求函数y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法) 甲生:所给问题即是将y=sinx的图像先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图像,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=-cos2x的图像,f(x)=-cos2x. 乙生:设f(x)=Asin(x+),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin(x+)=sin
27、x,A=,=1,+=0,即A=,=2,=-.f(x)=sin(2x-)=-cos2x.丙生:设f(x)=Asin(x+),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin(x+)+=Asin(sinx,A=,=1,+=0.解得A=,=2,=-,f(x)=sin(2x-)=-cos2x.活动:问题,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、对函数y=Asin(x+)图像变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题,让学生通
28、过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力. 问题,反例更能澄清概念的内涵及外延.甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=Asin(x+),然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(x+)的图像向左平移个单位长度时,把y=Asin(x+)函数中的自变量x变成x+,应该变换成y=Asi
29、n(x+)+,而不是变换成y=Asin(x+),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的. 三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:将x+看作一个整体,令其分别为0,2.(1)右,；(2)左,；(3)先ysinx的图像左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).略.提出问题回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的函数关系吗？回忆物理中简谐运动的相关内容
30、,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(x+),x0,+),其中A0,0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;x+称为
31、相位; x=0时的相位称为初相.讨论结果:y=Asin(x+),x0,+),其中A0,0.略.应用示例例1 图1是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.图1活动:本例是根据简谐运动的图像求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(x+)中的参数、A在图像上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清、A等参数在图像上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由
32、形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(x+)的图像的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为.(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(x+),x0,+),那么A=2;由=0.8,得=;由图像知初相=0.于是所求函数表达式是y=2sinx,x0,+).点评:本例的实质是由函数图像求函数解析式,要抓住关键点
33、.应用数学中重要的思想方法数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.变式训练 函数y=6sin(x-)的振幅是_,周期是_,频率是_,初相是_,图像最高点的坐标是_.解:6 8 - (8k+,6)(kZ)例2 若函数y=Asin(x+)+B(其中A0,0)在其一个周期内的图像上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式.活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin(x+)+B(其中A0,0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(x+)的图像的关系,它只是把y=Asin(x+)(其中A0,0)的图像向上
34、(B0)或向下(B0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.解:由已知条件,知ymax=3,ymin=-5,则A=(ymax-ymin)=4,B=(ymax+ymin)=-1,=-=.T=,得=2.故有y=4sin(2x+)-1.由于点(,3)在函数的图像上,故有3=4sin(2+)-1,即sin(+)=1.一般要求|,故取+=.=.故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.点拨:这是数
35、形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图像可直接求得A、,进而求得初相,但要注意初相的确定.求初相也是这节课的一个难点.变式训练例1 已知函数y=Asin(x+)(其中A0,0)一个周期的图像如图2所示,求函数的解析式.图2解:根据“五点法”的作图规律,认清图像中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程xi+=0,2(i=1,2,3,4,5),得出的值.方法一:由图知A=2,T=3,由=3,得=,y=2sin(x+).由“五点法”知,第一个零点为(,0),+=0=-,故y=2sin(x-).方法二:得到y=2sin(x+)同方法一.由图像并结
36、合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.+=-.y=2sin(x-).点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用x1+=0或x2+=求出.2.(2007海南高考,3)函数y=sin(2x-)在区间-,上的简图是( )图3答案:A知能训练课本本节练习2 1、2、3.课堂小结1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值.2.三角函数图像变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图像,这种题目的解题的思路是:如果函数同名,则按两
37、种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图像确定解析式y=Asin(x+)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(-,0)作为突破口,一定要从图像的升降情况找准第一零点的位置.作业把函数y=cos(3x+)的图像适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图像,这种变动可以是( )A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移解析:y=cos(3x+)=sin(-3x)=sin-3(x-),由y=sin-3(x-)向左平移才能得到y=sin(-3x)的图像.答案:D点评:本题
38、需逆推,教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的-3x需写成-3(x-),这样才能确保平移变换的正确性.设计感想1.本节课符合新课改精神,突出体现了以学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学生层层深入,培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因素促进学生的学习,实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一.2.由于本节内容综合性强,所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下,让学生积极、主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在思维训练的过程中,感受数学知识的魅力,成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下,要勇于,更要善于
39、把问题抛给学生,激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台,全面提升学生的综合能力.第3课时思路1.(直接引入)上面我们学习了函数y=Asin(x+)的图像可由y=sinx图像通过平移变换、周期变换、振幅变换的顺序而得到,本节我们进一步学习巩固有关三角函数图像与性质问题,以加深对图像变换的深刻理解.思路2.(复习引入)由于上节课学习的图像与性质的应用其难度较大,本节课又是总括前面所学进行回顾总结的阶段课时,在学生回忆起有关基础知识后再探究其他问题较好;因此先让学生回忆:正弦函数、余弦函数的图像与性质各有哪些？其中最大值、最小值各在什么时候取得？单调区间怎样确定？由此而进入新
40、课.推进新课新知探究提出问题先让学生完成以下练习题目:1.将函数y=sin4x的图像向左平移个单位,得到y=sin(4x+)的图像,则等于( )A.- B.- C. D.2.使y=sinx(0)在区间0,1至少出现2次最大值,则的最小值为( )A. B. C. D.3.把函数y=cos(x+)的图像向左平移m个单位(m0),所得图像关于y轴对称,则m的最小值是_.4.y=2sin(-2x)的单调增区间为_.解答:1.C 解析:函数y=sin4x的图像向左平移个单位,得到y=sin4(x+)的图像,故=.2.A 解析:要使y=sinx(0)在区间0,1至少出现2次最大值,只需要最小正周期1,故.
41、3. 解析:把函数y=cos(x+)的图像向左平移m个单位(m0),得到图像y=cos(x+m),而此图像关于y轴对称,故m的最小值是.4.解:y=2sin(-2x)=-2sin(2x-),要求单调增区间就是解+2k2x-+2k,k+xk+,kZ. 通过以上题目练习,学生熟悉了正弦函数、余弦函数的图像与性质,充分唤起了学生已有的知识方法.下面我们进一步探究一些与正弦函数、余弦函数的图像和性质有关的问题.应用示例1.求下列函数的最大值、最小值,以及达到最大值、最小值时x值的集合.(1)y=sinx-2;(2)y=sinx;(3)y=cos(3x+).活动:教师引导学生回顾正弦函数、余弦函数的图像
42、,点拨学生不要死记硬背三角函数的图像与性质.要结合图像灵活掌握,要学会具体问题具体分析.从某种意义上说三角函数图像也是三角函数性质.解:(1)当x=2k+(kZ)时,sinx取最大值1,此时函数y=sinx-2取最大值-1;当x=2k+(kZ)时,sinx取最小值-1,此时函数y=sinx-2取最小值-3.(2)设u=x.当u=2k+(kZ)时,即x=4k+(kZ)时,sinx取最大值1,此时函数y=sinx取最大值;当u=2k+(kZ)时,即x=4k+3(kZ)时,sinx取最小值-1,此时函数y=sinx取最小值-.(3)设u=3x+.当u=2k(kZ)时,即x=k-(kZ)时,cos(3
43、x+)取最大值1,此时函数y=cos(3x+)取最大值;当u=2k+(kZ)时,即x=k+(kZ)时,cos(3x+)取最小值-1,此时函数y=cos(3x+)取最小值-.点评:本题重在训练对三角函数性质的掌握情况,属于基本题型.强化学生重视实践,学会动手操作.变式训练(2006郑州)已知曲线y=Asin(x+)(A0,0)上的一个最高点的坐标为(,),由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(,0),若(-,).(1)试求这条曲线的函数表达式;(2)写出函数(1)的单调区间;(3)画出一个周期内的函数图像.解:(1)由题意知,A=,T=4(-)=4,T=4,0,=.y=sin(x+).又曲线上
44、的最高点为(,),sin(+)=1.又-,=.y=sin(x+).(2)令2k-x+2k+,kZ.4k-x4k+,kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为4k-,4k+(kZ).同理,函数f(x)的单调递减区间为4k+,4k+(kZ).(3)图像略.例2 (1)求函数y=2sin(x-)的递增区间;(2)求函数y=cos(4x+)的递减区间.活动:这是课本上的第2个例题,仅是单纯求单调区间,难度不大.可由学生自己独立完成.注意换元思想的应用,掌握这种化繁为简的解题方法.解:(1)设u=x-.因为函数sinu的递增区间是2k-,2k+(kZ),由2k-x-2k+(kZ),得4k-x4k+(kZ),
45、所以,函数y=2sin(x-)的递增区间是4k-,4k+(kZ).(2)设u=4x+.因为函数y=cosu的递减区间是2k,2k+(kZ),由2k4x+2k+(kZ),得k-xk+(kZ),所以,函数y=cos(4x+)的递减区间是k-,k+(kZ).点评:写三角函数单调区间答案不唯一,应提醒学生注意选择一个恰当的、便利的单调区间,本例中使用的是换元思想、化归思想,即利用正弦函数、余弦函数的单调性,得出一个关于x的不等式,然后通过解不等式得到所求的单调区间.变式训练1.求函数y=sin(-x),x-2,2的单调递增区间.解:令z=-x,由z是x的减函数,即x增加时z减小,要使x增加时y也增加,
46、则z减小时y要增加,于是函数y=sinz的减区间就是原函数的增区间.函数y=sinz的单调递减区间是+2k,+2k,由+2k-x+2k,得-4kx-4k,kZ.取k=-1,得x;取k=0,得-x-,由于x-2,2,所以应取-2x-,x2.因此,函数y=sin(-x),x-2,2的单调递增区间是-2,-和,2.点评:本例主要是为了使学生对求复合函数单调区间的问题有一个完整的认识.实际上,无论x的系数是正还是负,其求解的思路是一致的.本题也可先变形为y=-sin(x-),然后再求解.2.(2005全国)设函数f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=.(1)求;(2
47、)求函数y=f(x)的单调增区间;(3)画出函数y=f(x)在区间0,上的图像.解:(1)x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,sin(2+)=1,+=k+,kZ,-0,=-.(2)由(1)知=-,因此y=sin(2x-).由题意,得2k-2x-2k+,kZ,k+xk+,kZ,函数y=sin(2x-)的单调增区间为k+,k+,kZ.(3)由y=sin(2x-)知x0y-1010-故函数y=f(x)在区间0,上的图像如图1.图1知能训练P53练习1、2、3、4.作业课本P55习题17 A组4、5、6.课堂小结1.由学生归纳总结本节课都学习到了哪些知识、方法?用到了哪些数学思想?有什么独到的领悟及
48、心得?2.教师集中点明,要掌握好数学知识的来源,理解所学知识的独到作用,就像我们现在学的三角函数的图像与性质,其中周期性是三角函数的独特性质,它是造成三角问题复杂化的根源,当然也是用以处理三角问题的工具,只有抓住三角函数的周期性,才能更深刻地理解和把握解决三角问题的关键和方法.设计感想 本教案设计指导思想是突出学生的主体作用,由于本节课具有习题课的性质,因此设计时让学生自主探究,教师仅是点拨、引导,组织学生从一个高度逐渐攀登另一个高度.重在使学生身心愉快地进行探究体验. 本教案设计思路采用问题设疑,步步深入,层层引发,引导联想,类比归纳的探究式思维训练模式.旨在使学生在教师的适时点拨下,通过积
49、极主动的探索、发现,培养学生的创新意识和创新精神,培养学生的灵活思维能力. 本教案设计还突出比较的方法.由于正弦函数的图像和性质与余弦函数的图像和性质是分开学习的,因而在本节中注意两种函数的对比.比较是最好的学习方法,许多含混不清的疑点在比较中就一目了然了.备课资料备用习题1.已知函数f(x)=sin2x的图像沿x轴向左平移个单位(0)后的图像的一个对称中心是(,0),则等于( )A. B. C. D.2.若f(x)=Msin(x+)(0)在区间a,b上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(x+)在a,b上( )A.是增函数 B.是减函数C.可以取得最大值M D.
50、可以取得最小值-M3.关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR),下列命题中是真命题的是( )A.由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍B.y=f(x)的表达式可改写为y=-4cos(2x-)C.y=f(x)的图像关于点(-,0)对称D.y=f(x)的图像关于直线x=-对称4.已知函数f(x)=sinx的图像的一部分如图(1)所示,有以下四个函数解析式:y=f(2-x);y=f(x+1);y=f(x-);y=f(-x+1).(1) (2)图6其中,与图(2)所对应的函数解析式可以是_.(写出所有正确的函数解析式的序号)5.设函数f(x)=sin(x+)(0,-),给出下列四个论断:它的周期为;它的图像关于直线x=对称;它的图像关于点(,0)对称;在区间(-,0)上是增函数.请以其中两个论断为条件,另两个论断为结论,写出一个你认为正确的命题:_(用序号表示).6.(2005辽宁,16).是正实数,设S=|f(x)=cos(x+)是奇函数,若对每个实数a,S(a,a+1)的元素不超过2个,且有a使S(a,a+1)含有2个元素,则的取值范围是_.参考答案:1.B 2.C 3.C4. 5.或6.(,2 解析:使函数f(x)为奇函数的为(kZ),S=(kZ).由题意知1,又0,故2.(设计者：郑吉星)
