1、阶段通关训练(二) (60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2016吉安高二检测)下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内【解析】选D.选项A中，缺条件“不共线”；选项B中，须指明这两条直线的位置关系，比如两条异面直线就不能确定一个平面；选项C中，两两相交的三条直线当相交于同一点时，它们可以不在同一平面内，比如正方体中同一顶点的三条棱.2.如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB=90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()A.PA=PBPCB.PA=PBPC
2、C.PA=PB=PCD.PAPBPC【解析】选C.因为M为AB的中点，ACB为直角三角形，所以BM=AM=CM，又PM平面ABC，所以RtPMBRtPMARtPMC，故PA=PB=PC.3.(2016成都高二检测)如图，已知三条长度相等的线段AB，BC，CD，若ABBC，BCCD，且直线AB与CD所成角大小为60，则直线AD与BC所成角大小为()A.90B.60C.45D.30【解析】选C.如图，过B作BECD，连接DE，AE，则四边形BCDE为正方形，ABE为直线AB与CD所成角，ADE为直线AD与BC所成角.因为AB=BC=CD=BE，ABE=60，所以AB=BE=AE.因为ABBC，所以
3、ABDE，又BEDE，ABBE=B，所以DE平面ABE，所以DEAE，所以AED为等腰直角三角形，所以ADE=45.【拓展延伸】求异面直线所成角的方法求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角，主要途径有：利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线段成比例的性质等，如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形，达到平移的目的.【补偿训练】(2016台州高二检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.由题可知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1BD1C，所以异面直线A1D与D1C
4、所成的角与直线A1D与A1B所成的角相等，连接A1B，BD，BA1D为所求角，设正方体的棱长为1，在A1DB中，三条边长均为，故BA1D=60.4.(2016北京高二检测)已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是()A.若，m，则mB.若，m，则mC.若，m，则mD.若m，m，则【解析】选B.若，m，则直线m与平面相交，或直线m在平面内，或直线m与平面平行，所以选项A不正确；若，m，则直线m与平面平行，或直线m在平面内，所以选项C不正确.若m，m，则或与相交，所以选项D不正确.5.(2016辽宁师大附中高一检测)如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，则下列结论不正确的
5、是()A.CF平面PADB.DF平面PAFC.CF平面PABD.CD平面PAF【解析】选A.因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则AFCD，由线面平行的判定定理，可得CD平面PAF，故D正确；DFAF，DFPA，由线面垂直的判定定理可得DF平面PAF，故B正确；CFAB，由线面平行的判定定理，可得CF平面PAB，故C正确；CF与AD不垂直，故A中，CF平面PAD不正确.6.已知矩形ABCD，AB=1，BC=，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位
6、置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】选B.A错误.理由如下：过A作AEBD，垂足为E，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，则可得BD平面ACE，于是BDCE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.B正确.理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC平面BCD，此时由CDBC可证CD平面ABC，于是有ABCD.故B正确.C错误.理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BCCD可知BC平面ACD，于是BCAC，但是ABPA知正确；由E，F分别是棱PC，PD
7、的中点，可得EFCD，又ABCD，所以EFAB，故AE与BF共面，错.答案：10.(2016西宁高二检测)在四面体ABCD中，ABAD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为_.【解析】如图所示，取BD中点O，连接CO，MO，由已知条件BC=CD=1，所以BDCO，由平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，所以CO平面ABD，则CMO即为直线CM与平面ABD所成的角，由ABAD，所以BD=，则得到BCCD，所以CO=BD=，MO=AD=，所以在RtCOM中，CM=，所以sinCMO=.答案：三、解答题(共4小题，共50分
8、)11.(12分)(2016台州高二检测)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，点M，N分别是AB，PC的中点，PA=AD=a.(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：平面PMC平面PCD.【证明】(1)设PD的中点为点E，连接AE，NE，由点N为PC的中点知ENDC，又ABCD是矩形，所以DCAB，所以ENAB，又点M是AB的中点，所以ENAM，所以AMNE是平行四边形，所以MNAE，而AE平面PAD，NM平面PAD，所以MN平面PAD.(2)因为PA=AD，所以AEPD，又因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDPA，而CDAD，所以CD平面PAD，
9、所以CDAE，因为PDCD=D，所以AE平面PCD，因为MNAE，所以MN平面PCD，又MN平面PMC，所以平面PMC平面PCD.【补偿训练】(2016济南高一检测)如图所示，平面四边形PACB中，PAB为直角，ABC为等边三角形，现把PAB沿着AB折起，使得APB与ABC垂直，且点M为AB的中点.(1)求证：平面PAB平面PCM.(2)若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.【解析】(1)因为平面APB平面ABC且交线为AB，又因为PAB为直角，所以AP平面ABC，故APCM，又因为ABC为等边三角形，点M为AB的中点，所以CMAB，又因为PAAB=A，所以CM平面PAB，又C
10、M平面PCM，所以平面PAB平面PCM.(2)假设PA=a，则AB=2a，再设B到平面PMC的距离为hB.则VP-MBC=VB-PMC=PASMBC=hBSPMC，在直角三角形PAM中，由PA=AM=a，得PM=a，在等边三角形ABC中，AB边上的高CM=a，而三角形PMC为直角三角形，故面积为SPMC=CMPM=aa=a2.又SMBC=SABC=a2.所以aa2=hBa2.故hB=a.所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值sin=.12.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BCA=90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC.(2)是否存在点E
11、使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.【解析】(1)因为PA底面ABC，所以PABC.又BCA=90，所以ACBC.又因为ACPA=A，所以BC平面PAC.(2)因为DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，所以DE平面PAC.又因为AE平面PAC，PE平面PAC，所以DEAE，DEPE.所以AEP为二面角A-DE-P的平面角.因为PA底面ABC，所以PAAC，所以PAC=90.所以在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时AEP=90，故存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角.13.(13分)(2016杭州高二检测)已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直，ADDC，AB
12、DC，AB=AD=DE=4，DC=8，(1)证明：BD平面BCF.(2)设二面角E-BC-D的平面角为，求sin.(3)M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为平面ABCD平面CDEF，且矩形CDEF中FCDC，所以FC面ABCD，FCDB，在直角梯形ABCD中易得DBBC，又FCBC=C，所以BD平面BCF.(2)因为FC平面ABCD，EDFC，所以ED平面ABCD，又DBBC，所以EBBC，所以EBD为二面角E-BC-D的平面角，所以sin=sinEBD=.(3)猜想DP=1.取ED，EC的四等分点P，Q，使
13、得ED=4PD，EC=4QC，则PQCD，PQ=CD=6，取BC中点N，连接MN，NQ，则MNCD，MN=(CD+AB)=6，所以PQMN，所以四边形PQNM为平行四边形，所以MPQN，又因为MP平面BCE，QN平面BCE，所以MP平面BCE.14.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE平面B1BCC1.(2)求证：C1F平面ABE.(3)求三棱锥E-ABC的体积.【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABB
14、C，BB1BC=B，所以AB平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FG=AC.因为ACA1C1，且AC=A1C1，所以FGEC1，且FG=EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1=AC=2，BC=1，ABBC，所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=SABCAA1=12=.【能力挑战题】(2016桂林高二检测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，ABC=
15、90，平面PAB平面ABC，D，E分别为AB，AC的中点.(1)求证：ABPE.(2)求二面角A-PB-E的大小.【解题指南】(1)连结PD，根据等边三角形三线合一可证得PDAB，由中位线可得DEBC，即可得DEAB，根据线面垂直的判定定理可证得AB平面PDE，从而可证得ABPE.(2)由面面垂直的性质定理可证得PD平面ABC，从而可证DEPD，根据线面垂直的判定定理可证得DE平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EFPB.根据二面角的定义可知DFE即为所求，在DEF中求DFE即可.【解析】(1)连结PD，因为PA=PB，D为AB的中点，所以PDAB.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC，又因为BCAB，所以DEAB.又PDDE=D，所以AB平面PDE，因为PE平面PDE，所以ABPE.(2)因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，所以PD平面ABC，所以DEPD.又EDAB，PDAB=D，所以DE平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EFPB，所以DFE为所求二面角的平面角，则：DE=，DF=，则tanDFE=，故二面角A-PB-E的大小为60.
