1、2020-2021学年北京市101中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1设（0，），且，则（）ABCD2已知复数z满足z（1+i）1，则z对应的点位于复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3一组数据的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以a（a0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A这组新数据的平均数为B这组新数据的平均数为C这组新数据的方差为as2D这组新数据的标准差为as4已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）0.3，P（C）0.6，则P（A+B）（）A0.3B0.6C0.7D0.95已知单位向量，满
2、足0，若向量+，则sin，（）ABCD6在ABC中，a1，A30，则c（）A1B2C1或2D无解7已知z1，z2都是复数，则“z1z20”是“z1z2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件8函数f（x）2sinxcos2x在区间0，2上的零点个数为（）A2B3C4D59下列结论正确的是（）A若+，则tan+tan+tantantantanB设（，2），则C设，且，那么的值为D存在实数，使等式sin（+）sin+sin成立10我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角
3、三角形中较小的锐角为则sin（）cos（）（）ABCD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是 12已知复数z11i，z22i1，则复数的虚部等于 13暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是 14某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示则男生成绩的75%分位数为 ；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生
4、总数为 15如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为 16已知点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为若，不等式mf（x）+2mf（x）恒成立，则实数m的取值范围是 三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如图：
5、假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率18在ABC中，cosC，c8，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）b的值；（）角A的大小和ABC的面积条件：a7；条件：cosB19在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足+（1）求证：A、B、C三点共线；（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x0，f（x）+（2m+）
6、|+m2的最小值为5，求实数m的值20我们学过二维的平面向量，其坐标为（t1，t2）（tkR，k1，2），那么对于n（nN*，n2）维向量，其坐标为（t1，t2，tn）（tkR，k1，2，n）设n（nN*，n2）维向量的所有向量组成集合An|（t1，t2，tn），tkR，k1，2，n当（t1，t2，tn）（tk0，1，k1，2，n）时，称为An的“特征向量”，如A2|（t1，t2），tkR，k1，2的“特征向量”有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）设（x1，x2，xn）和（y1，y2，yn）为An的“特征向量”，定义|，|（1）若，A3，且（1，1，0），（0，1，1），计算|，|
7、，|，|的值；（2）设BA4且B中向量均为A4的“特征向量”，且满足：，B，当时，|，|为奇数；当时，|，|为偶数求集合B中元素个数的最大值；（3）设，且B中向量均为An的“特征向量”，且满足：，B，且时，|，|0写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1设（0，），且，则（）ABCD解：（0，），因为cos，所以故选：C2已知复数z满足z（1+i）1，则z对应的点位于复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：复数z满足z（1+i）1，复数z满足z（1+i）（1i）1i，zi，则z对应的点（，）位于复平面内的第四象限故选
8、：D3一组数据的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以a（a0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A这组新数据的平均数为B这组新数据的平均数为C这组新数据的方差为as2D这组新数据的标准差为as解：根据题意，一组数据的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以a（a0）得到一组新数据，则新数据的平均数为a，方差为a2s2，则其标准差为as，故选：D4已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）0.3，P（C）0.6，则P（A+B）（）A0.3B0.6C0.7D0.9解：随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P（A）0.3，P（C）0.6，P（B）1P（C
9、）0.4，P（A+B）P（A）+P（B）0.7故选：C5已知单位向量，满足0，若向量+，则sin，（）ABCD解：（）+，|3，所以cos，所以sin故选：B6在ABC中，a1，A30，则c（）A1B2C1或2D无解解：因为a1，A30，所以由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得13+c22c，整理可得c23c+20，解得c1或2故选：C7已知z1，z2都是复数，则“z1z20”是“z1z2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件解：z1，z2都是复数，若“z1z20”成立，则z1z2是正实数，此时两复数可能是实数也可能是虚部相同的复数，故不能得出“z1z
10、2”成立，即“z1z20”成立不能得出“z1z2”成立；若“z1z2”成立，则z1，z2都是实数故可得出“z1z20”，即若“z1z2”成立，可得出“z1z20”，成立故“z1z20”是“z1z2”的必要不充分条件考察四个选项，B选项正确故选：B8函数f（x）2sinxcos2x在区间0，2上的零点个数为（）A2B3C4D5解：函数f（x）2sinxcos2x2sinx1+2sin2x，令2sin2x+2sinx10，解得sinx，sinx（舍去），所以sinx，在区间0，2上有2个根，故选：A9下列结论正确的是（）A若+，则tan+tan+tantantantanB设（，2），则C设，且，那
11、么的值为D存在实数，使等式sin（+）sin+sin成立解：若+，所以三个角、有可能会有角为，而无正切值，故选项A错；（，2），故，故选项B错；，所以为第二象限角，在第三象限，故选项C错；sin（+）sincos+cossin，当2k，2k（kZ）时，等号成立，所以存在实数，使等式sin（+）sin+sin成立，故选项D正确故选：D10我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为则sin（）cos（）（）ABCD解：设直角三角形中较短的直角边为x，则：x2+（x+2）2102，解得
12、：x6，sin，cos，sin（）cos（）cos（coscos）sin（）cos，故选：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是解：由已知，1，2，3，4，a的平均数是3，即有（1+2+3+4+x）5x，易得x5根据方差计算公式得s2（13）2+（23）2+（33）2+（43）2+（53）2102所以标准差s故答案为：12已知复数z11i，z22i1，则复数的虚部等于解：z11i，z22i1，则的虚部等于故答案为：13暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一
13、人外出旅游的概率是解：暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是暑假期间两人都不外出旅游，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是：P1（1）（1）故答案为：14某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示则男生成绩的75%分位数为77.5；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为200解：将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且475%3
14、，所以男生成绩的75%分位数为77.5设高一年级学生总数为n，因为用分层抽样的方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人，所以，解得n200故答案是：77.5；20015如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，B60，AB3，A（，），BC6，C（6，0），ADBC，设D（x0，），（x0，0），（，），（x0）+0，解得x0，D（，），（1，0），（6，0），|1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0x5，（x，），（x，），（x）（x）+x
15、24x+（x2）2+，当x2时取得最小值，最小值为，故答案为：，16已知点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为若，不等式mf（x）+2mf（x）恒成立，则实数m的取值范围是解：由于函数图象上的任意两点，角的终边经过点，所以tan，故，当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为所以函数的最小正周期为：，解得3所以函数f（x）2sin（3x）由于，所以，于是f（x）+20，由于，不等式mf（x）+2mf（x）恒成立，所以m1，当f（x）取最大值1时，1的最大值为，故m的取值范围为m，故
16、答案为：三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率解：（1）由直方图可知：（0.02+0.01+0.03+a
17、+0.025）101，解得：a0.015s12s22；（2）甲种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.015+0.025）100.7，乙种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.025+0.015）100.7，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率为：0.70.3+0.30.70.4218在ABC中，cosC，c8，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）b的值；（）角A的大小和ABC的面积条件：a7；条件：cosB解：选条件：（）a7时，cosC，c8，利用c2a2+b22abcosC，整理得b22b150，解得b5或3（负值舍去），故：b5（）由于cosC
18、，0C，所以sinC，利用正弦定理，所以，解得sinA，由于ca，所以A，则选条件时，（）cosB，所以，cosC，所以sinC，由正弦定理，整理得，解得b5，（）cosB，所以，cosC，所以sinC，所以cosAcos（B+C），由于A（0，），所以A所以19在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足+（1）求证：A、B、C三点共线；（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x0，f（x）+（2m+）|+m2的最小值为5，求实数m的值解：（1），又与有公共点A，故A、B、C三点共线（2），故 ，（x0，）从而cos2x+（2m+1）sinx+1+m2sin2x+
19、（2m+1）sinx+2+m2+，关于sinx的二次函数的对称轴为，sinx0，1，又区间0，1的中点为当，即m0时，当sinx1时，由f（x）min5得m3或m1，又m0，m3；当，即m0时，当sinx0时，由f（x）min5得，又m0，综上所述：m的值为3或20我们学过二维的平面向量，其坐标为（t1，t2）（tkR，k1，2），那么对于n（nN*，n2）维向量，其坐标为（t1，t2，tn）（tkR，k1，2，n）设n（nN*，n2）维向量的所有向量组成集合An|（t1，t2，tn），tkR，k1，2，n当（t1，t2，tn）（tk0，1，k1，2，n）时，称为An的“特征向量”，如A2|（
20、t1，t2），tkR，k1，2的“特征向量”有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）设（x1，x2，xn）和（y1，y2，yn）为An的“特征向量”，定义|，|（1）若，A3，且（1，1，0），（0，1，1），计算|，|，|，|的值；（2）设BA4且B中向量均为A4的“特征向量”，且满足：，B，当时，|，|为奇数；当时，|，|为偶数求集合B中元素个数的最大值；（3）设，且B中向量均为An的“特征向量”，且满足：，B，且时，|，|0写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由解：（1）|，|（1+10）+（1+10）+（0+00）2，|，|（1+01）+（1+10）+（0+11）1（2）设（
21、a1，a2，a3，a4），（b1，b2，b3，b4），ai0，1，bi0，1（i1，2，3，4），当时，|，|a1+a2+a3+a4为奇数，则仅有1个1或3个1，当时，|，|为偶数，仅有1个1时，2，为使|，|为偶数，则2，即ai与bi不同时为1，此时B1（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1），4个元素仅有3个1时，6，为使|，|为偶数，则2，即ai与bi不同时为0，此时B2（0，1，1，1），（1，0，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），4个元素若B1，B2，则|，|1，舍去，综上所述，集合B中的元素个数最大值为4（3）B（0，0，0，0），（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，10），（0，0，0，1），此时B中有n+1个元素，下证其为最大，对于任意两个不同的元素，满足|，|0，则，中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于（0，0，0，0）与任意元素都有|，|0，所以除（0，0，0，0）外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对，满足xiyil，此时|，|1不满足题意，故B中最多有n+1个元素
