1、安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一数学下学期春季联赛试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合A，B的元素，再由集合的交集运算得到结果.【详解】，.故选：D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2.实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对于ACD选项，当x0,y0时，显然不成立；对于B可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题
2、意，当x0,y0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错；若0，利用诱导公式二把yAsin(x)中x的系数化为大于0的数19.如图，的三个内角，对应的三条边长分别是，角为钝角，.（）求的值；（）求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据余弦的二倍角公式求出，利用余弦定理求出，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得（2）由（1）可求出，中，求得，再由，即可求出面积.【详解】解：(1)由得：，且角为钝角，解得： 由余弦定理得：解得 可知为等腰三角形，即所以，解得 (2)由可知在中，得，三角形面积【点睛】本题考查
3、正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.20.2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则
4、某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.【答案】（1）7天；(2) . 【解析】【分析】(1) 空气中释放的浓度为,时，,时，,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度=，由不等式得到最值.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为 当时，解得，当时，解得，综上得， 即一次投放4个单位的去污剂，有
5、效去污时间可达7天.(2)设从第一次喷洒起，经天，浓度= =，即，, 当时，满足题意，所以的最小值为.【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21.若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.（）若，是“距”增函数，求的取值范围；（）若，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）根据题干条件得到恒成立，故只需要判别式小于0即可
6、；（II）原题等价于恒成立，恒成立，分和两种情况得结果即可.【详解】（I）.因为是“距”增函数，所以恒成立，由，所以.（II）因为，其中，且为“2距”增函数，即时，恒成立，所以，当时，即，当时，所以.综上所述，得.【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.22.已知数列满足，是数列的前项和.（）求数列的通项公式；（）若，30，成等差数列，18，成等比数列，求正整数，的值；（）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，当时，由 列是首项为2，公差为1的等差数列.（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得，或，（舍去）或14.试题解析：（1）因为，所以当时，当时，由 和，两式相除可得，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，解得，当时，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，则，所以，或，或，解得：，或，或，（舍去），综上所述，或14.
