1、2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示2a与|F1F2|的大
2、小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系a2b2c2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？提示a，b的值及焦点所在的位置基础自测1思考辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆1的焦点坐标是(3,0)()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()提示(1)2a|F1F2|.(2)(0，3)(3)ab0时表示焦点在y轴上的
3、椭圆2以下方程表示椭圆的是()A1B2x23y22C2x23y21D0CA中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是() 【导学号：73122091】A.1B.1C.1或1D.1或1C若椭圆的焦点在x轴上，则c1，b2，得a25，此时椭圆方程是1；若焦点在y轴，则a2，c1，则b23，此时椭圆方程是1.合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：【导学号：73122092】(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,
4、0)；(3)经过点A(，2)和点B(2，1)思路探究求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算解析 (1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)2a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，故所求椭圆的标准方程为x21.(3)法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得因为ab0，所以无解综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设所求椭圆的方
5、程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为1.规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3)；(2)经过两点(2，)，.解(1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a12，所以a6.又c2，所以b4.所以椭圆的标准方程为1.法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆
6、的标准方程为1.(2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.与椭圆有关的轨迹问题如图211，圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程. 【导学号：73122093】图211解由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|5.M点的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为
7、C(1,0)，A(1,0)，a，c1，b2a2c21.所求轨迹方程为：1.规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程解如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，|MC1|13r.圆M外切于圆C2，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|
8、8，动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为1.椭圆的定义及其应用探究问题1如何用集合语言描述椭圆的定义？提示PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|2如何判断椭圆的焦点位置？提示判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”3椭圆标准方程，a，b，c三个量的关系是什么？提示椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2.(如图所示)如图212所示，已
9、知椭圆的方程为1，若点P为椭圆上的点，且PF1F2120，求PF1F2的面积 【导学号：73122094】图212思路探究由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解解由已知a2，b，得c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|. 由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|. 代入解得|PF1| .所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是.母题探究：1.(
10、变换条件)把本例条件“PF1F2120”改为“F1PF2120”求PF1F2的面积解由已知得a2，b，c1，|F1F2|2在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120即4|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，由椭圆定义得|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|12，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin 120123，即PF1F2的面积是3.2(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标解设P点坐标为(x0，y0)由本例解答可知SPF1F2|F1F2|y0|，解得|y0|，即y0
11、，将y0代入1得x，所以点P的坐标为.规律方法椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|PF2|2a及余弦定理求出|PF1|PF2|，这样可以减少运算量.当 堂 达 标固 双 基1已知点M到两个定点A(1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是() 【导学号：73122095】A一个椭圆B线段ABC线段AB的垂直平分线D直线ABB定值2等于|AB|，故
12、点M只能在线段AB上2已知椭圆1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为()A1 B5C2 D7D由|PF1|PF2|10可知到另一焦点的距离为7.3椭圆1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1的周长为()A10 B20 C40 D50B由椭圆的定义得|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|20，故选B.4设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是_【导学号：73122096】1由|AF1|AF2|2a4得a2，原方程化为1，将A代入方程得b23，椭圆方程为1.5如图213，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹图213解设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则xx0，y.因为点P(x0，y0)在圆x2y24上，所以xy4. 把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆
